Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
2*x^3+6*x^2-18*x+120
-
-4*x^2-1
- -4*x^2-12*x-9
-
x^2*sqrt(3)-x
- Производная:
-
log(x)/x^2
- Предел функции:
-
log(x)/x^2
- Интеграл d{x}:
- log(x)/x^2
-
Идентичные выражения
- log(x)/x^ два
- логарифм от (x) делить на x в квадрате
- логарифм от (x) делить на x в степени два
- log(x)/x2
- logx/x2
- log(x)/x²
- log(x)/x в степени 2
- logx/x^2
- log(x) разделить на x^2
-
Похожие выражения
- sin((1-log(x))/x)^(2)
- log(x)/(x)^2
- log(x/(x^2-1))
- (1-log(x))/x^2
- (log(x))/((x^2)-5*x-6)
График функции y = log(x)/x^2
Решение
Вы ввели
[src]
log(x)
f(x) = ------
2
x
$$f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
f = log(x)/(x^2)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{1}{x x^{2}} - \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = e^{\frac{1}{2}}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = e^{\frac{1}{2}}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, e^{\frac{1}{2}}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[e^{\frac{1}{2}}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{1}{x x^{2}} - \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = e^{\frac{1}{2}}$$
Зн. экстремумы в точках:
-1
1/2 e
(e , ---)
2 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = e^{\frac{1}{2}}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, e^{\frac{1}{2}}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[e^{\frac{1}{2}}, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{6 \log{\left(x \right)} - 5}{x^{4}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = e^{\frac{5}{6}}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{6 \log{\left(x \right)} - 5}{x^{4}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 \log{\left(x \right)} - 5}{x^{4}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[e^{\frac{5}{6}}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, e^{\frac{5}{6}}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{6 \log{\left(x \right)} - 5}{x^{4}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = e^{\frac{5}{6}}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{6 \log{\left(x \right)} - 5}{x^{4}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 \log{\left(x \right)} - 5}{x^{4}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[e^{\frac{5}{6}}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, e^{\frac{5}{6}}\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(x)/(x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}} = \frac{\log{\left(- x \right)}}{x^{2}}$$
- Нет
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}} = - \frac{\log{\left(- x \right)}}{x^{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}} = \frac{\log{\left(- x \right)}}{x^{2}}$$
- Нет
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}} = - \frac{\log{\left(- x \right)}}{x^{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График