Господин Экзамен

Другие калькуляторы

log(x)/x^2
Построение графика функции/ log(x)/x^2

График функции y = log(x)/x^2

v

График:

от до

Точки пересечения:

показывать?

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src] 
       log(x)
f(x) = ------
          2  
         x
f(x)=log⁡(x)x2f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}} 
f = log(x)/(x^2)
График функции
02468-8-6-4-2-1010-20001000
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=0x_{1} = 0
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
log⁡(x)x2=0\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=1x_{1} = 1
Численное решение
x1=1x_{1} = 1
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(x)/(x^2).
log⁡(0)02\frac{\log{\left(0 \right)}}{0^{2}}
Результат:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
1xx2−2log⁡(x)x3=0\frac{1}{x x^{2}} - \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x^{3}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
x1=e12x_{1} = e^{\frac{1}{2}}
Зн. экстремумы в точках:
        -1 
  1/2  e   
(e  , ---)
        2


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
x1=e12x_{1} = e^{\frac{1}{2}}
Убывает на промежутках
(−∞,e12]\left(-\infty, e^{\frac{1}{2}}\right]
Возрастает на промежутках
[e12,∞)\left[e^{\frac{1}{2}}, \infty\right)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
6log⁡(x)−5x4=0\frac{6 \log{\left(x \right)} - 5}{x^{4}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
x1=e56x_{1} = e^{\frac{5}{6}}
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(6log⁡(x)−5x4)=−∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{6 \log{\left(x \right)} - 5}{x^{4}}\right) = -\infty
Возьмём предел
lim⁡x→0+(6log⁡(x)−5x4)=−∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 \log{\left(x \right)} - 5}{x^{4}}\right) = -\infty
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[e56,∞)\left[e^{\frac{5}{6}}, \infty\right)
Выпуклая на промежутках
(−∞,e56]\left(-\infty, e^{\frac{5}{6}}\right]
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=0x_{1} = 0
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x)x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(log⁡(x)x2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=0y = 0
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(x)/(x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x)xx2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x x^{2}}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
lim⁡x→∞(log⁡(x)xx2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x x^{2}}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
log⁡(x)x2=log⁡(−x)x2\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}} = \frac{\log{\left(- x \right)}}{x^{2}}
- Нет
log⁡(x)x2=−log⁡(−x)x2\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}} = - \frac{\log{\left(- x \right)}}{x^{2}}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = log(x)/x^2
    © Господин Экзамен – Калькулятор