Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- (x^2+4*x-12)
- (sin(x))^(1/2)
- (16*x^2)/(x-4)
-
sqrt(sin(3*x))
- Производная:
-
(1-log(x))/x^2
-
Идентичные выражения
- (один -log(x))/x^ два
- (1 минус логарифм от (x)) делить на x в квадрате
- (один минус логарифм от (x)) делить на x в степени два
- (1-log(x))/x2
- 1-logx/x2
- (1-log(x))/x²
- (1-log(x))/x в степени 2
- 1-logx/x^2
- (1-log(x)) разделить на x^2
-
Похожие выражения
- (1+log(x))/x^2
- sin((1-log(x))/x)^(2)
График функции y = (1-log(x))/x^2
Решение
Вы ввели
[src]
1 - log(x)
f(x) = ----------
2
x
$$f{\left(x \right)} = \frac{- \log{\left(x \right)} + 1}{x^{2}}$$
f = (1 - log(x))/(x^2)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{- \log{\left(x \right)} + 1}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = e$$
Численное решение
$$x_{1} = 2.71828182845905$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{- \log{\left(x \right)} + 1}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = e$$
Численное решение
$$x_{1} = 2.71828182845905$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{1}{x x^{2}} - \frac{2 \cdot \left(- \log{\left(x \right)} + 1\right)}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = e^{\frac{3}{2}}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = e^{\frac{3}{2}}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[e^{\frac{3}{2}}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, e^{\frac{3}{2}}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{1}{x x^{2}} - \frac{2 \cdot \left(- \log{\left(x \right)} + 1\right)}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = e^{\frac{3}{2}}$$
Зн. экстремумы в точках:
-3
3/2 -e
(e , -----)
2 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = e^{\frac{3}{2}}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[e^{\frac{3}{2}}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, e^{\frac{3}{2}}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{- 6 \log{\left(x \right)} + 11}{x^{4}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = e^{\frac{11}{6}}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- 6 \log{\left(x \right)} + 11}{x^{4}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 6 \log{\left(x \right)} + 11}{x^{4}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, e^{\frac{11}{6}}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[e^{\frac{11}{6}}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{- 6 \log{\left(x \right)} + 11}{x^{4}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = e^{\frac{11}{6}}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- 6 \log{\left(x \right)} + 11}{x^{4}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 6 \log{\left(x \right)} + 11}{x^{4}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, e^{\frac{11}{6}}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[e^{\frac{11}{6}}, \infty\right)$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \log{\left(x \right)} + 1}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \log{\left(x \right)} + 1}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \log{\left(x \right)} + 1}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \log{\left(x \right)} + 1}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (1 - log(x))/(x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \log{\left(x \right)} + 1}{x x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \log{\left(x \right)} + 1}{x x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \log{\left(x \right)} + 1}{x x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \log{\left(x \right)} + 1}{x x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{- \log{\left(x \right)} + 1}{x^{2}} = \frac{- \log{\left(- x \right)} + 1}{x^{2}}$$
- Нет
$$\frac{- \log{\left(x \right)} + 1}{x^{2}} = - \frac{- \log{\left(- x \right)} + 1}{x^{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{- \log{\left(x \right)} + 1}{x^{2}} = \frac{- \log{\left(- x \right)} + 1}{x^{2}}$$
- Нет
$$\frac{- \log{\left(x \right)} + 1}{x^{2}} = - \frac{- \log{\left(- x \right)} + 1}{x^{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График