Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- 1/4
-
x/e^(x)
- 3*x-(x^3)/9
- sqrt(2*x-1)
-
Идентичные выражения
- log(x/(x^ два - один))
- логарифм от (x делить на (x в квадрате минус 1))
- логарифм от (x делить на (x в степени два минус один))
- log(x/(x2-1))
- logx/x2-1
- log(x/(x²-1))
- log(x/(x в степени 2-1))
- logx/x^2-1
- log(x разделить на (x^2-1))
-
Похожие выражения
- log(x/(x^2+1))
График функции y = log(x/(x^2-1))
Решение
Вы ввели
[src]
/ x \
f(x) = log|------|
| 2 |
\x - 1/
$$f{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)}$$
f = log(x/(x^2 - 1*1))
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.618033988749895$$
$$x_{2} = 1.61803398874989$$
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.618033988749895$$
$$x_{2} = 1.61803398874989$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\left(x^{2} - 1\right) \left(- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1}\right)}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\left(x^{2} - 1\right) \left(- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1}\right)}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{4 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{2 \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right)}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x^{2} - 1} + \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \sqrt{-2 + \sqrt{5}}$$
$$x_{2} = \sqrt{-2 + \sqrt{5}}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(- \frac{4 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{2 \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right)}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x^{2} - 1} + \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{x^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -1^+}\left(- \frac{4 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{2 \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right)}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x^{2} - 1} + \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{x^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \frac{4 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{2 \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right)}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x^{2} - 1} + \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{x^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{4 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{2 \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right)}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x^{2} - 1} + \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{x^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{-2 + \sqrt{5}}\right] \cup \left[\sqrt{-2 + \sqrt{5}}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \sqrt{-2 + \sqrt{5}}, \sqrt{-2 + \sqrt{5}}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{4 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{2 \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right)}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x^{2} - 1} + \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \sqrt{-2 + \sqrt{5}}$$
$$x_{2} = \sqrt{-2 + \sqrt{5}}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(- \frac{4 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{2 \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right)}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x^{2} - 1} + \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{x^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -1^+}\left(- \frac{4 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{2 \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right)}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x^{2} - 1} + \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{x^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \frac{4 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{2 \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right)}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x^{2} - 1} + \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{x^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{4 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{2 \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right)}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x^{2} - 1} + \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1}{x^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{-2 + \sqrt{5}}\right] \cup \left[\sqrt{-2 + \sqrt{5}}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \sqrt{-2 + \sqrt{5}}, \sqrt{-2 + \sqrt{5}}\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)} = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)} = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)} = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)} = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(x/(x^2 - 1*1)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)} = \log{\left(- \frac{x}{x^{2} - 1} \right)}$$
- Нет
$$\log{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)} = - \log{\left(- \frac{x}{x^{2} - 1} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\log{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)} = \log{\left(- \frac{x}{x^{2} - 1} \right)}$$
- Нет
$$\log{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)} = - \log{\left(- \frac{x}{x^{2} - 1} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График