Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- (6-4*x)*cos(x)+4*sin(x)+14
- 2*x^2+108/x-59
-
log(7*x)+7
-
3*cos(3*x)^(2)-3*sqrt(3)*cos(3*x)-sin(3*x)^(2)+4
- Производная:
-
x^2*sqrt(4-x^2)
- Интеграл d{x}:
- x^2*sqrt(4-x^2)
-
Идентичные выражения
- x^ два *sqrt(четыре -x^ два)
- x в квадрате умножить на квадратный корень из (4 минус x в квадрате )
- x в степени два умножить на квадратный корень из (четыре минус x в степени два)
- x^2*√(4-x^2)
- x2*sqrt(4-x2)
- x2*sqrt4-x2
- x²*sqrt(4-x²)
- x в степени 2*sqrt(4-x в степени 2)
- x^2sqrt(4-x^2)
- x2sqrt(4-x2)
- x2sqrt4-x2
- x^2sqrt4-x^2
-
Похожие выражения
- x^2*sqrt(4+x^2)
- x^2*sqrt(4-(x^2))
График функции y = x^2*sqrt(4-x^2)
Решение
Вы ввели
[src]
________
2 / 2
f(x) = x *\/ 4 - x
$$f{\left(x \right)} = x^{2} \sqrt{- x^{2} + 4}$$
f = x^2*sqrt(4 - x^2)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{2} \sqrt{- x^{2} + 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = -2$$
значит надо решить уравнение:
$$x^{2} \sqrt{- x^{2} + 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = -2$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{x^{3}}{\sqrt{- x^{2} + 4}} + 2 x \sqrt{- x^{2} + 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2 \sqrt{6}}{3}$$
$$x_{3} = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{6}}{3}$$
$$x_{1} = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{6}}{3}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{2 \sqrt{6}}{3}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{x^{3}}{\sqrt{- x^{2} + 4}} + 2 x \sqrt{- x^{2} + 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2 \sqrt{6}}{3}$$
$$x_{3} = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)
___ ___
-2*\/ 6 16*\/ 3
(---------, --------)
3 9 ___ ___
2*\/ 6 16*\/ 3
(-------, --------)
3 9 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{6}}{3}$$
$$x_{1} = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{6}}{3}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{2 \sqrt{6}}{3}, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{x^{2} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{\sqrt{- x^{2} + 4}} - \frac{4 x^{2}}{\sqrt{- x^{2} + 4}} + 2 \sqrt{- x^{2} + 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \sqrt{- \frac{\sqrt{33}}{3} + 3}$$
$$x_{2} = \sqrt{- \frac{\sqrt{33}}{3} + 3}$$
$$x_{3} = - \sqrt{\frac{\sqrt{33}}{3} + 3}$$
$$x_{4} = \sqrt{\frac{\sqrt{33}}{3} + 3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \sqrt{- \frac{\sqrt{33}}{3} + 3}, \sqrt{- \frac{\sqrt{33}}{3} + 3}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{- \frac{\sqrt{33}}{3} + 3}\right] \cup \left[\sqrt{- \frac{\sqrt{33}}{3} + 3}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{x^{2} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{\sqrt{- x^{2} + 4}} - \frac{4 x^{2}}{\sqrt{- x^{2} + 4}} + 2 \sqrt{- x^{2} + 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \sqrt{- \frac{\sqrt{33}}{3} + 3}$$
$$x_{2} = \sqrt{- \frac{\sqrt{33}}{3} + 3}$$
$$x_{3} = - \sqrt{\frac{\sqrt{33}}{3} + 3}$$
$$x_{4} = \sqrt{\frac{\sqrt{33}}{3} + 3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \sqrt{- \frac{\sqrt{33}}{3} + 3}, \sqrt{- \frac{\sqrt{33}}{3} + 3}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{- \frac{\sqrt{33}}{3} + 3}\right] \cup \left[\sqrt{- \frac{\sqrt{33}}{3} + 3}, \infty\right)$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \sqrt{- x^{2} + 4}\right) = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \sqrt{- x^{2} + 4}\right) = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \sqrt{- x^{2} + 4}\right) = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \sqrt{- x^{2} + 4}\right) = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2*sqrt(4 - x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \sqrt{- x^{2} + 4}\right) = - \infty i$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sqrt{- x^{2} + 4}\right) = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \sqrt{- x^{2} + 4}\right) = - \infty i$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sqrt{- x^{2} + 4}\right) = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{2} \sqrt{- x^{2} + 4} = x^{2} \sqrt{- x^{2} + 4}$$
- Да
$$x^{2} \sqrt{- x^{2} + 4} = - x^{2} \sqrt{- x^{2} + 4}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
Итак, проверяем:
$$x^{2} \sqrt{- x^{2} + 4} = x^{2} \sqrt{- x^{2} + 4}$$
- Да
$$x^{2} \sqrt{- x^{2} + 4} = - x^{2} \sqrt{- x^{2} + 4}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
График