Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
2*x^3-9*x^2+12*x-3
-
1-2*x^2-x^4
-
2*x^6
-
(6*x^2-x^4)/(9)
-
Идентичные выражения
- (шесть *x^ два -x^ четыре)/(девять)
- (6 умножить на x в квадрате минус x в степени 4) делить на (9)
- (шесть умножить на x в степени два минус x в степени четыре) делить на (девять)
- (6*x2-x4)/(9)
- 6*x2-x4/9
- (6*x²-x⁴)/(9)
- (6*x в степени 2-x в степени 4)/(9)
- (6x^2-x^4)/(9)
- (6x2-x4)/(9)
- 6x2-x4/9
- 6x^2-x^4/9
- (6*x^2-x^4) разделить на (9)
-
Похожие выражения
- 6*x^2-x^4/9
- (6*x^2+x^4)/(9)
График функции y = (6*x^2-x^4)/(9)
Решение
Вы ввели
[src]
2 4
6*x - x
f(x) = ---------
9
$$f{\left(x \right)} = \frac{- x^{4} + 6 x^{2}}{9}$$
f = -x^4 + 6*x^2/9
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{- x^{4} + 6 x^{2}}{9} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{6}$$
$$x_{3} = \sqrt{6}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2.44948974278318$$
$$x_{3} = -2.44948974278318$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{- x^{4} + 6 x^{2}}{9} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{6}$$
$$x_{3} = \sqrt{6}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2.44948974278318$$
$$x_{3} = -2.44948974278318$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{4 x^{3}}{9} + \frac{4 x}{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{3}$$
$$x_{3} = \sqrt{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \sqrt{3}$$
$$x_{1} = \sqrt{3}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{3}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\sqrt{3}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{4 x^{3}}{9} + \frac{4 x}{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{3}$$
$$x_{3} = \sqrt{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)
___ (-\/ 3, 1)
___ (\/ 3, 1)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \sqrt{3}$$
$$x_{1} = \sqrt{3}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{3}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\sqrt{3}, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{4 \cdot \left(- x^{2} + 1\right)}{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[-1, 1\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{4 \cdot \left(- x^{2} + 1\right)}{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[-1, 1\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{4} + 6 x^{2}}{9}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{4} + 6 x^{2}}{9}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{4} + 6 x^{2}}{9}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{4} + 6 x^{2}}{9}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -x^4 + 6*x^2/9, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{4} + 6 x^{2}}{9 x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{4} + 6 x^{2}}{9 x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{4} + 6 x^{2}}{9 x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{4} + 6 x^{2}}{9 x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{- x^{4} + 6 x^{2}}{9} = \frac{- x^{4} + 6 x^{2}}{9}$$
- Да
$$\frac{- x^{4} + 6 x^{2}}{9} = - \frac{- x^{4} + 6 x^{2}}{9}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
Итак, проверяем:
$$\frac{- x^{4} + 6 x^{2}}{9} = \frac{- x^{4} + 6 x^{2}}{9}$$
- Да
$$\frac{- x^{4} + 6 x^{2}}{9} = - \frac{- x^{4} + 6 x^{2}}{9}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
График