Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
(2*x^2+x+677)/(x-5)
- 7*cos(2*x)+5
- (3-x^2)^2
-
log(x^2/(2-x))
-
Идентичные выражения
- log(один +x)/(x- один)
- логарифм от (1 плюс x) делить на (x минус 1)
- логарифм от (один плюс x) делить на (x минус один)
- log1+x/x-1
- log(1+x) разделить на (x-1)
-
Похожие выражения
- log(1+x)/(x+1)
- log(1-x)/(x-1)
-
Что Вы имели ввиду?
- log(1 + x)/(x - 1*1)
- log(1 + x)/x - 1*1
- log(1 + x)/(x - 1*1)
- log(1 + x)/x - 1*1
- log(1 + x)/(x - 1*1)
- log(1 + x)/x - 1*1
- log(1 + x)/x - 1*1
Вы ввели:
log(1+x)/(x-1)
Что Вы имели ввиду?
График функции y = log(1+x)/(x-1)
Решение
Вы ввели
[src]
log(1 + x)
f(x) = ----------
x - 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x - 1}$$
f = log(x + 1)/(x - 1*1)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x + 1\right) \left(x - 1\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x + 1\right) \left(x - 1\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)}}{x - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 30313.0711583927$$
$$x_{2} = 28027.5669832704$$
$$x_{3} = 46090.3625396016$$
$$x_{4} = 35987.101658533$$
$$x_{5} = 39368.6894395282$$
$$x_{6} = -0.24730562832981$$
$$x_{7} = 42735.881529686$$
$$x_{8} = 43855.3812200838$$
$$x_{9} = 33723.6843051682$$
$$x_{10} = 37116.0176685265$$
$$x_{11} = 34856.3546906075$$
$$x_{12} = 48320.3048464994$$
$$x_{13} = 47205.9412102245$$
$$x_{14} = 58300.9959035701$$
$$x_{15} = 26880.8329973123$$
$$x_{16} = 29171.5904995992$$
$$x_{17} = 56090.0156444064$$
$$x_{18} = 38243.1875642342$$
$$x_{19} = 41614.9721088897$$
$$x_{20} = 53875.2621041885$$
$$x_{21} = 52766.3998855945$$
$$x_{22} = 31452.1590866034$$
$$x_{23} = 50545.5498341066$$
$$x_{24} = 54983.1242581985$$
$$x_{25} = 49433.4947641099$$
$$x_{26} = 40492.5953811719$$
$$x_{27} = 32588.989410925$$
$$x_{28} = 57195.9640585799$$
$$x_{29} = 25731.2004025347$$
$$x_{30} = 24578.4567737346$$
$$x_{31} = 51656.5066853361$$
$$x_{32} = 44973.5248474526$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)}}{x - 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)}}{x - 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 1$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, -0.24730562832981\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[-0.24730562832981, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)}}{x - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 30313.0711583927$$
$$x_{2} = 28027.5669832704$$
$$x_{3} = 46090.3625396016$$
$$x_{4} = 35987.101658533$$
$$x_{5} = 39368.6894395282$$
$$x_{6} = -0.24730562832981$$
$$x_{7} = 42735.881529686$$
$$x_{8} = 43855.3812200838$$
$$x_{9} = 33723.6843051682$$
$$x_{10} = 37116.0176685265$$
$$x_{11} = 34856.3546906075$$
$$x_{12} = 48320.3048464994$$
$$x_{13} = 47205.9412102245$$
$$x_{14} = 58300.9959035701$$
$$x_{15} = 26880.8329973123$$
$$x_{16} = 29171.5904995992$$
$$x_{17} = 56090.0156444064$$
$$x_{18} = 38243.1875642342$$
$$x_{19} = 41614.9721088897$$
$$x_{20} = 53875.2621041885$$
$$x_{21} = 52766.3998855945$$
$$x_{22} = 31452.1590866034$$
$$x_{23} = 50545.5498341066$$
$$x_{24} = 54983.1242581985$$
$$x_{25} = 49433.4947641099$$
$$x_{26} = 40492.5953811719$$
$$x_{27} = 32588.989410925$$
$$x_{28} = 57195.9640585799$$
$$x_{29} = 25731.2004025347$$
$$x_{30} = 24578.4567737346$$
$$x_{31} = 51656.5066853361$$
$$x_{32} = 44973.5248474526$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)}}{x - 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)}}{x - 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 1$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, -0.24730562832981\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[-0.24730562832981, \infty\right)$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x - 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x - 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x - 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x - 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(1 + x)/(x - 1*1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x \left(x - 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x \left(x - 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x \left(x - 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x \left(x - 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x - 1} = \frac{\log{\left(- x + 1 \right)}}{- x - 1}$$
- Нет
$$\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x - 1} = - \frac{\log{\left(- x + 1 \right)}}{- x - 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x - 1} = \frac{\log{\left(- x + 1 \right)}}{- x - 1}$$
- Нет
$$\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x - 1} = - \frac{\log{\left(- x + 1 \right)}}{- x - 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График