Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- sin(x)+1/3*sin(3*x)
- (sin(x))^3+(cos(x))^3
-
sqrt(9*x)^2-1
-
5/(sin(x)-1/2)
- Производная:
- sqrt(x-1)/sqrt(x)
-
Идентичные выражения
- sqrt(x- один)/sqrt(x)
- квадратный корень из (x минус 1) делить на квадратный корень из (x)
- квадратный корень из (x минус один) делить на квадратный корень из (x)
- √(x-1)/√(x)
- sqrtx-1/sqrtx
- sqrt(x-1) разделить на sqrt(x)
-
Похожие выражения
- sqrt(x+1)/sqrt(x)
График функции y = sqrt(x-1)/sqrt(x)
Решение
Вы ввели
[src]
_______
\/ x - 1
f(x) = ---------
___
\/ x
$$f{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}}$$
f = sqrt(x - 1*1)/(sqrt(x))
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{1}{2 \sqrt{x} \sqrt{x - 1}} - \frac{\sqrt{x - 1}}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{1}{2 \sqrt{x} \sqrt{x - 1}} - \frac{\sqrt{x - 1}}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\frac{3 \sqrt{x - 1}}{x^{2}} - \frac{2}{x \sqrt{x - 1}} - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{4 \sqrt{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{3}{4}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\frac{3 \sqrt{x - 1}}{x^{2}} - \frac{2}{x \sqrt{x - 1}} - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{4 \sqrt{x}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{3 \sqrt{x - 1}}{x^{2}} - \frac{2}{x \sqrt{x - 1}} - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{4 \sqrt{x}}\right) = \infty i$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\frac{3 \sqrt{x - 1}}{x^{2}} - \frac{2}{x \sqrt{x - 1}} - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{4 \sqrt{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{3}{4}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\frac{3 \sqrt{x - 1}}{x^{2}} - \frac{2}{x \sqrt{x - 1}} - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{4 \sqrt{x}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{3 \sqrt{x - 1}}{x^{2}} - \frac{2}{x \sqrt{x - 1}} - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{4 \sqrt{x}}\right) = \infty i$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(x - 1*1)/(sqrt(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x} x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x} x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x} x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x} x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{- x - 1}}{\sqrt{- x}}$$
- Нет
$$\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}} = - \frac{\sqrt{- x - 1}}{\sqrt{- x}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{- x - 1}}{\sqrt{- x}}$$
- Нет
$$\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}} = - \frac{\sqrt{- x - 1}}{\sqrt{- x}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График