График функции y = sqrt((1-x)/x)

Вы ввели [src]

           _______
          / 1 - x 
f(x) =   /  ----- 
       \/     x

$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\frac{- x + 1}{x}}$$

f = sqrt((1 - x)/x)

График функции

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt{\frac{- x + 1}{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sqrt((1 - x)/x).
$$\sqrt{\frac{\left(-1\right) 0 + 1}{0}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{x \sqrt{\frac{- x + 1}{x}} \left(- \frac{1}{2 x} - \frac{- x + 1}{2 x^{2}}\right)}{- x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\sqrt{- \frac{x - 1}{x}} \left(1 - \frac{x - 1}{x}\right) \left(\frac{1 - \frac{x - 1}{x}}{x - 1} - \frac{2}{x - 1} - \frac{2}{x}\right)}{4 \left(x - 1\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{3}{4}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{- \frac{x - 1}{x}} \left(1 - \frac{x - 1}{x}\right) \left(\frac{1 - \frac{x - 1}{x}}{x - 1} - \frac{2}{x - 1} - \frac{2}{x}\right)}{4 \left(x - 1\right)}\right) = \infty i$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{- \frac{x - 1}{x}} \left(1 - \frac{x - 1}{x}\right) \left(\frac{1 - \frac{x - 1}{x}}{x - 1} - \frac{2}{x - 1} - \frac{2}{x}\right)}{4 \left(x - 1\right)}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{3}{4}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[\frac{3}{4}, \infty\right)$$

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\frac{- x + 1}{x}} = i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = i$$
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{- x + 1}{x}} = i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = i$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt((1 - x)/x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{- x + 1}{x}}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\frac{- x + 1}{x}}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sqrt{\frac{- x + 1}{x}} = \sqrt{- \frac{x + 1}{x}}$$
- Нет
$$\sqrt{\frac{- x + 1}{x}} = - \sqrt{- \frac{x + 1}{x}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

График функции y = sqrt((1-x)/x)

График:

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

Решение