Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
(cos(x))^3
-
1/x^5
-
x-cos(x)
-
(x+2)^2*(x+8)-7
- Производная:
-
(cos(x))^3
- Интеграл d{x}:
- (cos(x))^3
-
Идентичные выражения
- (cos(x))^ три
- ( косинус от (x)) в кубе
- ( косинус от (x)) в степени три
- (cos(x))3
- cosx3
- (cos(x))³
- (cos(x)) в степени 3
- cosx^3
-
Похожие выражения
- cos(x)^(2)+cos(x)^(32)
- (sin(x)^3)+(cos(x)^3)
- sin(x)^3+cos(x)^3
- cos(x)^3+sin(x)^3
- (cosx)^3
График функции y = (cos(x))^3
Решение
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos^{3}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -29.8451152214988$$
$$x_{2} = 51.8363261592826$$
$$x_{3} = -58.1194276545353$$
$$x_{4} = 92.6768935770301$$
$$x_{5} = 26.7034436275456$$
$$x_{6} = 86.3937628262857$$
$$x_{7} = 95.818627417042$$
$$x_{8} = 70.6858302611407$$
$$x_{9} = -45.5531401844306$$
$$x_{10} = -61.2611560468397$$
$$x_{11} = -1.57083925518957$$
$$x_{12} = -14.1371260033657$$
$$x_{13} = -20.4202554438585$$
$$x_{14} = 45.5531567451367$$
$$x_{15} = 36.128317789764$$
$$x_{16} = -83.2523004207065$$
$$x_{17} = 7.85402475701276$$
$$x_{18} = -83.2523059178598$$
$$x_{19} = 70.6857435758276$$
$$x_{20} = -42.411405413931$$
$$x_{21} = -64.4025554047934$$
$$x_{22} = 14.1371748405436$$
$$x_{23} = -7.85396939058216$$
$$x_{24} = 48.6945935926021$$
$$x_{25} = 4.71228651848371$$
$$x_{26} = 26.7034598912501$$
$$x_{27} = 29.8451754771722$$
$$x_{28} = -20.4203505482106$$
$$x_{29} = 4.71229368085888$$
$$x_{30} = -39.2700061565569$$
$$x_{31} = -23.5619897288019$$
$$x_{32} = 64.4026122770508$$
$$x_{33} = -92.6770895717702$$
$$x_{34} = 1.5708945053691$$
$$x_{35} = 1.57080273224359$$
$$x_{36} = 45.553194340988$$
$$x_{37} = -42.4114638604687$$
$$x_{38} = 73.8274768053124$$
$$x_{39} = -51.8362625267018$$
$$x_{40} = -80.1105785507599$$
$$x_{41} = -36.1282768063468$$
$$x_{42} = 80.1106035284868$$
$$x_{43} = 20.4203112367381$$
$$x_{44} = 42.4114617473496$$
$$x_{45} = -73.827410994311$$
$$x_{46} = 23.5619763533234$$
$$x_{47} = 23.5620444336803$$
$$x_{48} = 67.5443333859623$$
$$x_{49} = 58.1194603256925$$
$$x_{50} = -86.3937054164085$$
$$x_{51} = 67.5443442271897$$
$$x_{52} = -95.8185603030962$$
$$x_{53} = -61.2611644481175$$
$$x_{54} = 48.6946439323886$$
$$x_{55} = -67.5442906223714$$
$$x_{56} = 92.6770059000324$$
$$x_{57} = -17.2788562472482$$
$$x_{58} = -89.5354410428862$$
$$x_{59} = 89.5354940921686$$
значит надо решить уравнение:
$$\cos^{3}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -29.8451152214988$$
$$x_{2} = 51.8363261592826$$
$$x_{3} = -58.1194276545353$$
$$x_{4} = 92.6768935770301$$
$$x_{5} = 26.7034436275456$$
$$x_{6} = 86.3937628262857$$
$$x_{7} = 95.818627417042$$
$$x_{8} = 70.6858302611407$$
$$x_{9} = -45.5531401844306$$
$$x_{10} = -61.2611560468397$$
$$x_{11} = -1.57083925518957$$
$$x_{12} = -14.1371260033657$$
$$x_{13} = -20.4202554438585$$
$$x_{14} = 45.5531567451367$$
$$x_{15} = 36.128317789764$$
$$x_{16} = -83.2523004207065$$
$$x_{17} = 7.85402475701276$$
$$x_{18} = -83.2523059178598$$
$$x_{19} = 70.6857435758276$$
$$x_{20} = -42.411405413931$$
$$x_{21} = -64.4025554047934$$
$$x_{22} = 14.1371748405436$$
$$x_{23} = -7.85396939058216$$
$$x_{24} = 48.6945935926021$$
$$x_{25} = 4.71228651848371$$
$$x_{26} = 26.7034598912501$$
$$x_{27} = 29.8451754771722$$
$$x_{28} = -20.4203505482106$$
$$x_{29} = 4.71229368085888$$
$$x_{30} = -39.2700061565569$$
$$x_{31} = -23.5619897288019$$
$$x_{32} = 64.4026122770508$$
$$x_{33} = -92.6770895717702$$
$$x_{34} = 1.5708945053691$$
$$x_{35} = 1.57080273224359$$
$$x_{36} = 45.553194340988$$
$$x_{37} = -42.4114638604687$$
$$x_{38} = 73.8274768053124$$
$$x_{39} = -51.8362625267018$$
$$x_{40} = -80.1105785507599$$
$$x_{41} = -36.1282768063468$$
$$x_{42} = 80.1106035284868$$
$$x_{43} = 20.4203112367381$$
$$x_{44} = 42.4114617473496$$
$$x_{45} = -73.827410994311$$
$$x_{46} = 23.5619763533234$$
$$x_{47} = 23.5620444336803$$
$$x_{48} = 67.5443333859623$$
$$x_{49} = 58.1194603256925$$
$$x_{50} = -86.3937054164085$$
$$x_{51} = 67.5443442271897$$
$$x_{52} = -95.8185603030962$$
$$x_{53} = -61.2611644481175$$
$$x_{54} = 48.6946439323886$$
$$x_{55} = -67.5442906223714$$
$$x_{56} = 92.6770059000324$$
$$x_{57} = -17.2788562472482$$
$$x_{58} = -89.5354410428862$$
$$x_{59} = 89.5354940921686$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, \pi\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 1)
pi (--, 0) 2
(pi, -1)
3*pi (----, 0) 2
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, \pi\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$3 \cdot \left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{3} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x_{4} = \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$3 \cdot \left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{3} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x_{4} = \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos^{3}{\left(x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos^{3}{\left(x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty} \cos^{3}{\left(x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos^{3}{\left(x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x)^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos^{3}{\left(x \right)} = \cos^{3}{\left(x \right)}$$
- Да
$$\cos^{3}{\left(x \right)} = - \cos^{3}{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
Итак, проверяем:
$$\cos^{3}{\left(x \right)} = \cos^{3}{\left(x \right)}$$
- Да
$$\cos^{3}{\left(x \right)} = - \cos^{3}{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
График