Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- log(x)^(2)
- (|x-5|)
-
x^2*(log(x))
- (x-1)/(sqrt(x))
-
Идентичные выражения
- (sin(x))/(cos(x))^(три)
- ( синус от (x)) делить на ( косинус от (x)) в степени (3)
- ( синус от (x)) делить на ( косинус от (x)) в степени (три)
- (sin(x))/(cos(x))(3)
- sinx/cosx3
- sinx/cosx^3
- (sin(x)) разделить на (cos(x))^(3)
-
Похожие выражения
- (sinx)/(cosx)^(3)
График функции y = (sin(x))/(cos(x))^(3)
Решение
Вы ввели
[src]
sin(x)
f(x) = -------
3
cos (x)
$$f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}$$
f = sin(x)/(cos(x)^3)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1.5707963267949$$
$$x_{2} = 4.71238898038469$$
$$x_{1} = 1.5707963267949$$
$$x_{2} = 4.71238898038469$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -97.3893722612836$$
$$x_{2} = 47.1238898038469$$
$$x_{3} = -84.8230016469244$$
$$x_{4} = -56.5486677646163$$
$$x_{5} = 94.2477796076938$$
$$x_{6} = -6.28318530717959$$
$$x_{7} = 75.398223686155$$
$$x_{8} = 21.9911485751286$$
$$x_{9} = 12.5663706143592$$
$$x_{10} = 31.4159265358979$$
$$x_{11} = -50.2654824574367$$
$$x_{12} = -59.6902604182061$$
$$x_{13} = 3.14159265358979$$
$$x_{14} = -18.8495559215388$$
$$x_{15} = 6.28318530717959$$
$$x_{16} = 40.8407044966673$$
$$x_{17} = -25.1327412287183$$
$$x_{18} = -94.2477796076938$$
$$x_{19} = -100.530964914873$$
$$x_{20} = 100.530964914873$$
$$x_{21} = 9.42477796076938$$
$$x_{22} = -34.5575191894877$$
$$x_{23} = -91.106186954104$$
$$x_{24} = -62.8318530717959$$
$$x_{25} = 25.1327412287183$$
$$x_{26} = 15.707963267949$$
$$x_{27} = -31.4159265358979$$
$$x_{28} = -53.4070751110265$$
$$x_{29} = 50.2654824574367$$
$$x_{30} = 59.6902604182061$$
$$x_{31} = -47.1238898038469$$
$$x_{32} = -3.14159265358979$$
$$x_{33} = -21.9911485751286$$
$$x_{34} = -43.9822971502571$$
$$x_{35} = -65.9734457253857$$
$$x_{36} = -28.2743338823081$$
$$x_{37} = 62.8318530717959$$
$$x_{38} = -69.1150383789755$$
$$x_{39} = 81.6814089933346$$
$$x_{40} = 0$$
$$x_{41} = 34.5575191894877$$
$$x_{42} = 91.106186954104$$
$$x_{43} = -15.707963267949$$
$$x_{44} = -81.6814089933346$$
$$x_{45} = 18.8495559215388$$
$$x_{46} = 84.8230016469244$$
$$x_{47} = 53.4070751110265$$
$$x_{48} = 97.3893722612836$$
$$x_{49} = -9.42477796076938$$
$$x_{50} = 72.2566310325652$$
$$x_{51} = 87.9645943005142$$
$$x_{52} = 28.2743338823081$$
$$x_{53} = -40.8407044966673$$
$$x_{54} = 37.6991118430775$$
$$x_{55} = -72.2566310325652$$
$$x_{56} = 65.9734457253857$$
$$x_{57} = -12.5663706143592$$
$$x_{58} = -87.9645943005142$$
$$x_{59} = 78.5398163397448$$
$$x_{60} = 43.9822971502571$$
$$x_{61} = 56.5486677646163$$
$$x_{62} = -37.6991118430775$$
$$x_{63} = -78.5398163397448$$
$$x_{64} = -75.398223686155$$
$$x_{65} = 69.1150383789755$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -97.3893722612836$$
$$x_{2} = 47.1238898038469$$
$$x_{3} = -84.8230016469244$$
$$x_{4} = -56.5486677646163$$
$$x_{5} = 94.2477796076938$$
$$x_{6} = -6.28318530717959$$
$$x_{7} = 75.398223686155$$
$$x_{8} = 21.9911485751286$$
$$x_{9} = 12.5663706143592$$
$$x_{10} = 31.4159265358979$$
$$x_{11} = -50.2654824574367$$
$$x_{12} = -59.6902604182061$$
$$x_{13} = 3.14159265358979$$
$$x_{14} = -18.8495559215388$$
$$x_{15} = 6.28318530717959$$
$$x_{16} = 40.8407044966673$$
$$x_{17} = -25.1327412287183$$
$$x_{18} = -94.2477796076938$$
$$x_{19} = -100.530964914873$$
$$x_{20} = 100.530964914873$$
$$x_{21} = 9.42477796076938$$
$$x_{22} = -34.5575191894877$$
$$x_{23} = -91.106186954104$$
$$x_{24} = -62.8318530717959$$
$$x_{25} = 25.1327412287183$$
$$x_{26} = 15.707963267949$$
$$x_{27} = -31.4159265358979$$
$$x_{28} = -53.4070751110265$$
$$x_{29} = 50.2654824574367$$
$$x_{30} = 59.6902604182061$$
$$x_{31} = -47.1238898038469$$
$$x_{32} = -3.14159265358979$$
$$x_{33} = -21.9911485751286$$
$$x_{34} = -43.9822971502571$$
$$x_{35} = -65.9734457253857$$
$$x_{36} = -28.2743338823081$$
$$x_{37} = 62.8318530717959$$
$$x_{38} = -69.1150383789755$$
$$x_{39} = 81.6814089933346$$
$$x_{40} = 0$$
$$x_{41} = 34.5575191894877$$
$$x_{42} = 91.106186954104$$
$$x_{43} = -15.707963267949$$
$$x_{44} = -81.6814089933346$$
$$x_{45} = 18.8495559215388$$
$$x_{46} = 84.8230016469244$$
$$x_{47} = 53.4070751110265$$
$$x_{48} = 97.3893722612836$$
$$x_{49} = -9.42477796076938$$
$$x_{50} = 72.2566310325652$$
$$x_{51} = 87.9645943005142$$
$$x_{52} = 28.2743338823081$$
$$x_{53} = -40.8407044966673$$
$$x_{54} = 37.6991118430775$$
$$x_{55} = -72.2566310325652$$
$$x_{56} = 65.9734457253857$$
$$x_{57} = -12.5663706143592$$
$$x_{58} = -87.9645943005142$$
$$x_{59} = 78.5398163397448$$
$$x_{60} = 43.9822971502571$$
$$x_{61} = 56.5486677646163$$
$$x_{62} = -37.6991118430775$$
$$x_{63} = -78.5398163397448$$
$$x_{64} = -75.398223686155$$
$$x_{65} = 69.1150383789755$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}} + \frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{4}{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}} + \frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{4}{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\left(\frac{12 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 8\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1.5707963267949$$
$$x_{2} = 4.71238898038469$$
$$\lim_{x \to 1.5707963267949^-}\left(\frac{\left(\frac{12 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 8\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}\right) = 1.39404555427017 \cdot 10^{82}$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1.5707963267949^+}\left(\frac{\left(\frac{12 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 8\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}\right) = 1.39404555427017 \cdot 10^{82}$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
$$\lim_{x \to 4.71238898038469^-}\left(\frac{\left(\frac{12 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 8\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}\right) = 5.73681298053567 \cdot 10^{79}$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 4.71238898038469^+}\left(\frac{\left(\frac{12 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 8\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}\right) = 5.73681298053567 \cdot 10^{79}$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\pi, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\left(\frac{12 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 8\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1.5707963267949$$
$$x_{2} = 4.71238898038469$$
$$\lim_{x \to 1.5707963267949^-}\left(\frac{\left(\frac{12 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 8\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}\right) = 1.39404555427017 \cdot 10^{82}$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1.5707963267949^+}\left(\frac{\left(\frac{12 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 8\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}\right) = 1.39404555427017 \cdot 10^{82}$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
$$\lim_{x \to 4.71238898038469^-}\left(\frac{\left(\frac{12 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 8\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}\right) = 5.73681298053567 \cdot 10^{79}$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 4.71238898038469^+}\left(\frac{\left(\frac{12 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 8\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}\right) = 5.73681298053567 \cdot 10^{79}$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\pi, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 1.5707963267949$$
$$x_{2} = 4.71238898038469$$
$$x_{1} = 1.5707963267949$$
$$x_{2} = 4.71238898038469$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x)/(cos(x)^3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \cos^{3}{\left(x \right)}}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \cos^{3}{\left(x \right)}}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \cos^{3}{\left(x \right)}}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \cos^{3}{\left(x \right)}}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \cos^{3}{\left(x \right)}}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \cos^{3}{\left(x \right)}}\right)$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \cos^{3}{\left(x \right)}}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \cos^{3}{\left(x \right)}}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \cos^{3}{\left(x \right)}}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \cos^{3}{\left(x \right)}}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \cos^{3}{\left(x \right)}}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \cos^{3}{\left(x \right)}}\right)$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}$$
- Нет
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}$$
- Нет
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График