Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
cos(x+pi/4)
-
x^(-2/3)
-
sqrt(cos(x)-1)
-
-16/x
- Производная:
-
cos(x+pi/4)
-
Идентичные выражения
- cos(x+pi/ четыре)
- косинус от (x плюс число пи делить на 4)
- косинус от (x плюс число пи делить на четыре)
- cosx+pi/4
- cos(x+pi разделить на 4)
-
Похожие выражения
- cos(x-pi/4)
-
Что Вы имели ввиду?
- cos((x + pi)/4)
- cos(x + pi/4)
- cos(x + pi/4)
Вы ввели:
cos(x+pi/4)
Что Вы имели ввиду?
График функции y = cos(x+pi/4)
Решение
Вы ввели
[src]
/ pi\
f(x) = cos|x + --|
\ 4 /
$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$$
f = cos(x + pi/4)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = 63.6172512351933$$
$$x_{2} = 13.3517687777566$$
$$x_{3} = 95.0331777710912$$
$$x_{4} = -21.2057504117311$$
$$x_{5} = -40.0553063332699$$
$$x_{6} = 32.2013246992954$$
$$x_{7} = 38.484510006475$$
$$x_{8} = 73.0420291959627$$
$$x_{9} = 3.92699081698724$$
$$x_{10} = 35.3429173528852$$
$$x_{11} = -5.49778714378214$$
$$x_{12} = -99.7455667514759$$
$$x_{13} = -43.1968989868597$$
$$x_{14} = 44.7676953136546$$
$$x_{15} = 51.0508806208341$$
$$x_{16} = -1535.45340944201$$
$$x_{17} = -68.329640215578$$
$$x_{18} = -90.3207887907066$$
$$x_{19} = -77.7544181763474$$
$$x_{20} = -93.4623814442964$$
$$x_{21} = 66.7588438887831$$
$$x_{22} = -49.4800842940392$$
$$x_{23} = 69.9004365423729$$
$$x_{24} = 88.7499924639117$$
$$x_{25} = -65.1880475619882$$
$$x_{26} = -8.63937979737193$$
$$x_{27} = 41.6261026600648$$
$$x_{28} = -11.7809724509617$$
$$x_{29} = 79.3252145031423$$
$$x_{30} = -87.1791961371168$$
$$x_{31} = 101.316363078271$$
$$x_{32} = -52.621676947629$$
$$x_{33} = -27.4889357189107$$
$$x_{34} = -14.9225651045515$$
$$x_{35} = 76.1836218495525$$
$$x_{36} = 19.6349540849362$$
$$x_{37} = 7.06858347057703$$
$$x_{38} = 47.9092879672443$$
$$x_{39} = 22.776546738526$$
$$x_{40} = 25.9181393921158$$
$$x_{41} = 85.6083998103219$$
$$x_{42} = -30.6305283725005$$
$$x_{43} = -84.037603483527$$
$$x_{44} = -18.0641577581413$$
$$x_{45} = -33.7721210260903$$
$$x_{46} = 29.0597320457056$$
$$x_{47} = 54.1924732744239$$
$$x_{48} = -228.550865548657$$
$$x_{49} = -62.0464549083984$$
$$x_{50} = -96.6039740978861$$
$$x_{51} = -46.3384916404494$$
$$x_{52} = 10.2101761241668$$
$$x_{53} = -55.7632696012188$$
$$x_{54} = 82.4668071567321$$
$$x_{55} = -80.8960108299372$$
$$x_{56} = 0.785398163397448$$
$$x_{57} = -24.3473430653209$$
$$x_{58} = 57.3340659280137$$
$$x_{59} = -71.4712328691678$$
$$x_{60} = 98.174770424681$$
$$x_{61} = -74.6128255227576$$
$$x_{62} = -36.9137136796801$$
$$x_{63} = -2.35619449019234$$
$$x_{64} = 60.4756585816035$$
$$x_{65} = -58.9048622548086$$
$$x_{66} = 91.8915851175014$$
$$x_{67} = 16.4933614313464$$
$$x_{68} = 1672.11268987317$$
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = 63.6172512351933$$
$$x_{2} = 13.3517687777566$$
$$x_{3} = 95.0331777710912$$
$$x_{4} = -21.2057504117311$$
$$x_{5} = -40.0553063332699$$
$$x_{6} = 32.2013246992954$$
$$x_{7} = 38.484510006475$$
$$x_{8} = 73.0420291959627$$
$$x_{9} = 3.92699081698724$$
$$x_{10} = 35.3429173528852$$
$$x_{11} = -5.49778714378214$$
$$x_{12} = -99.7455667514759$$
$$x_{13} = -43.1968989868597$$
$$x_{14} = 44.7676953136546$$
$$x_{15} = 51.0508806208341$$
$$x_{16} = -1535.45340944201$$
$$x_{17} = -68.329640215578$$
$$x_{18} = -90.3207887907066$$
$$x_{19} = -77.7544181763474$$
$$x_{20} = -93.4623814442964$$
$$x_{21} = 66.7588438887831$$
$$x_{22} = -49.4800842940392$$
$$x_{23} = 69.9004365423729$$
$$x_{24} = 88.7499924639117$$
$$x_{25} = -65.1880475619882$$
$$x_{26} = -8.63937979737193$$
$$x_{27} = 41.6261026600648$$
$$x_{28} = -11.7809724509617$$
$$x_{29} = 79.3252145031423$$
$$x_{30} = -87.1791961371168$$
$$x_{31} = 101.316363078271$$
$$x_{32} = -52.621676947629$$
$$x_{33} = -27.4889357189107$$
$$x_{34} = -14.9225651045515$$
$$x_{35} = 76.1836218495525$$
$$x_{36} = 19.6349540849362$$
$$x_{37} = 7.06858347057703$$
$$x_{38} = 47.9092879672443$$
$$x_{39} = 22.776546738526$$
$$x_{40} = 25.9181393921158$$
$$x_{41} = 85.6083998103219$$
$$x_{42} = -30.6305283725005$$
$$x_{43} = -84.037603483527$$
$$x_{44} = -18.0641577581413$$
$$x_{45} = -33.7721210260903$$
$$x_{46} = 29.0597320457056$$
$$x_{47} = 54.1924732744239$$
$$x_{48} = -228.550865548657$$
$$x_{49} = -62.0464549083984$$
$$x_{50} = -96.6039740978861$$
$$x_{51} = -46.3384916404494$$
$$x_{52} = 10.2101761241668$$
$$x_{53} = -55.7632696012188$$
$$x_{54} = 82.4668071567321$$
$$x_{55} = -80.8960108299372$$
$$x_{56} = 0.785398163397448$$
$$x_{57} = -24.3473430653209$$
$$x_{58} = 57.3340659280137$$
$$x_{59} = -71.4712328691678$$
$$x_{60} = 98.174770424681$$
$$x_{61} = -74.6128255227576$$
$$x_{62} = -36.9137136796801$$
$$x_{63} = -2.35619449019234$$
$$x_{64} = 60.4756585816035$$
$$x_{65} = -58.9048622548086$$
$$x_{66} = 91.8915851175014$$
$$x_{67} = 16.4933614313464$$
$$x_{68} = 1672.11268987317$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:
-pi / pi pi\ (----, cos|- -- + --|) 4 \ 4 4 /
3*pi (----, -1) 4
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{4}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{4}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{4}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{4}, \infty\right)$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x + pi/4), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$$
- Нет
$$\cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = - \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$$
- Нет
$$\cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = - \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График