Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
x^3/9-3*x
-
x^log(x)
-
cos((x-pi)/4)
-
3*x^5-5*x^3+7
-
Идентичные выражения
- cos((x-pi)/ четыре)
- косинус от ((x минус число пи ) делить на 4)
- косинус от ((x минус число пи ) делить на четыре)
- cosx-pi/4
- cos((x-pi) разделить на 4)
-
Похожие выражения
- cos((x+pi)/4)
- -2*cos(x-pi/4)
График функции y = cos((x-pi)/4)
Решение
Вы ввели
[src]
/x - pi\
f(x) = cos|------|
\ 4 /
$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)}$$
f = cos((x - pi)/4)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \pi$$
$$x_{2} = 3 \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -53.4070751110265$$
$$x_{2} = -91.106186954104$$
$$x_{3} = 14875.4412147477$$
$$x_{4} = -28.2743338823081$$
$$x_{5} = 84.8230016469244$$
$$x_{6} = -128.805298797182$$
$$x_{7} = 47.1238898038469$$
$$x_{8} = 21.9911485751286$$
$$x_{9} = -15.707963267949$$
$$x_{10} = -40.8407044966673$$
$$x_{11} = -103.672557568463$$
$$x_{12} = 72.2566310325652$$
$$x_{13} = -65.9734457253857$$
$$x_{14} = -204.203522483337$$
$$x_{15} = 9.42477796076938$$
$$x_{16} = 197.920337176157$$
$$x_{17} = 97.3893722612836$$
$$x_{18} = -3.14159265358979$$
$$x_{19} = 109.955742875643$$
$$x_{20} = 59.6902604182061$$
$$x_{21} = 34.5575191894877$$
$$x_{22} = -78.5398163397448$$
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \pi$$
$$x_{2} = 3 \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -53.4070751110265$$
$$x_{2} = -91.106186954104$$
$$x_{3} = 14875.4412147477$$
$$x_{4} = -28.2743338823081$$
$$x_{5} = 84.8230016469244$$
$$x_{6} = -128.805298797182$$
$$x_{7} = 47.1238898038469$$
$$x_{8} = 21.9911485751286$$
$$x_{9} = -15.707963267949$$
$$x_{10} = -40.8407044966673$$
$$x_{11} = -103.672557568463$$
$$x_{12} = 72.2566310325652$$
$$x_{13} = -65.9734457253857$$
$$x_{14} = -204.203522483337$$
$$x_{15} = 9.42477796076938$$
$$x_{16} = 197.920337176157$$
$$x_{17} = 97.3893722612836$$
$$x_{18} = -3.14159265358979$$
$$x_{19} = 109.955742875643$$
$$x_{20} = 59.6902604182061$$
$$x_{21} = 34.5575191894877$$
$$x_{22} = -78.5398163397448$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\sin{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)}}{4} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \pi$$
$$x_{2} = 5 \pi$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 5 \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \pi$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \pi\right] \cup \left[5 \pi, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\pi, 5 \pi\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\sin{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)}}{4} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \pi$$
$$x_{2} = 5 \pi$$
Зн. экстремумы в точках:
(pi, 1)
(5*pi, -1)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 5 \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \pi$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \pi\right] \cup \left[5 \pi, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\pi, 5 \pi\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{\cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)}}{16} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \pi$$
$$x_{2} = 3 \pi$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \pi\right] \cup \left[3 \pi, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \pi, 3 \pi\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{\cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)}}{16} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \pi$$
$$x_{2} = 3 \pi$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \pi\right] \cup \left[3 \pi, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \pi, 3 \pi\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos((x - pi)/4), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)} = \cos{\left(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{4} \right)}$$
- Нет
$$\cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)} = - \cos{\left(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{4} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)} = \cos{\left(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{4} \right)}$$
- Нет
$$\cos{\left(\frac{x - \pi}{4} \right)} = - \cos{\left(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{4} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График