График функции y = cos(sqrt(x))

Вы ввели [src]

          /  ___\
f(x) = cos\\/ x /

$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(\sqrt{x} \right)}$$

f = cos(sqrt(x))

График функции

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left(\sqrt{x} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi^{2}}{4}$$
$$x_{2} = \frac{9 \pi^{2}}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = 61.6850275068085$$
$$x_{2} = 298.555533132953$$
$$x_{3} = 199.85948912206$$
$$x_{4} = 120.902653913345$$
$$x_{5} = 22.2066099024511$$
$$x_{6} = 2.46740110027234$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(sqrt(x)).
$$\cos{\left(\sqrt{0} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \pi^{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

   2     
(pi, -1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \pi^{2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[\pi^{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, \pi^{2}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{- \frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{x} + \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{x^{\frac{3}{2}}}}{4} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 20.1907285564266$$
$$x_{2} = 296.554412135731$$
$$x_{3} = 59.6795159441094$$
$$x_{4} = 197.857811193377$$
$$x_{5} = 118.899869163626$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[197.857811193377, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 59.6795159441094\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\sqrt{x} \right)} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\sqrt{x} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(sqrt(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left(\sqrt{x} \right)} = \cos{\left(\sqrt{- x} \right)}$$
- Нет
$$\cos{\left(\sqrt{x} \right)} = - \cos{\left(\sqrt{- x} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

График функции y = cos(sqrt(x))

График:

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

Решение