Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- (x^2+4*x-12)
- (sin(x))^(1/2)
-
log(9-x^2)/log(1/3)
- x^2*log(x)/x
- Производная:
-
2*x/log(x)
-
Идентичные выражения
- два *x/log(x)
- 2 умножить на x делить на логарифм от (x)
- два умножить на x делить на логарифм от (x)
- 2x/log(x)
- 2x/logx
- 2*x разделить на log(x)
-
Похожие выражения
- ((3/2)*x)/(log((x)^(1/2)))
- (3/2*x)/(log(x)^(1/2))
-
Что Вы имели ввиду?
- 2*x/log(x)
- 2*x*x/log(x)
- 2*x/log(x)
- 2*x*x/log(x)
- 2*x*x/log(x)
Вы ввели:
2*x/log(x)
Что Вы имели ввиду?
График функции y = 2*x/log(x)
Решение
Вы ввели
[src]
2*x
f(x) = ------
log(x)
$$f{\left(x \right)} = \frac{2 x}{\log{\left(x \right)}}$$
f = 2*x/log(x)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{2 x}{\log{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{2 x}{\log{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2}{\log{\left(x \right)}} - \frac{2}{\log{\left(x \right)}^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = e$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = e$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[e, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, e\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2}{\log{\left(x \right)}} - \frac{2}{\log{\left(x \right)}^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = e$$
Зн. экстремумы в точках:
(e, 2*e)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = e$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[e, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, e\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(-1 + \frac{2}{\log{\left(x \right)}}\right)}{x \log{\left(x \right)}^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = e^{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(-1 + \frac{2}{\log{\left(x \right)}}\right)}{x \log{\left(x \right)}^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(-1 + \frac{2}{\log{\left(x \right)}}\right)}{x \log{\left(x \right)}^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 1$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, e^{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[e^{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(-1 + \frac{2}{\log{\left(x \right)}}\right)}{x \log{\left(x \right)}^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = e^{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(-1 + \frac{2}{\log{\left(x \right)}}\right)}{x \log{\left(x \right)}^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(-1 + \frac{2}{\log{\left(x \right)}}\right)}{x \log{\left(x \right)}^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 1$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, e^{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[e^{2}, \infty\right)$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x}{\log{\left(x \right)}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{\log{\left(x \right)}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x}{\log{\left(x \right)}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{\log{\left(x \right)}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 2*x/log(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2}{\log{\left(x \right)}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{\log{\left(x \right)}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2}{\log{\left(x \right)}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{\log{\left(x \right)}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{2 x}{\log{\left(x \right)}} = - \frac{2 x}{\log{\left(- x \right)}}$$
- Нет
$$\frac{2 x}{\log{\left(x \right)}} = \frac{2 x}{\log{\left(- x \right)}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{2 x}{\log{\left(x \right)}} = - \frac{2 x}{\log{\left(- x \right)}}$$
- Нет
$$\frac{2 x}{\log{\left(x \right)}} = \frac{2 x}{\log{\left(- x \right)}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График