График функции y = atan(log(x))

Вы ввели [src]

f(x) = atan(log(x))

$$f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$$

f = atan(log(x))

График функции

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\operatorname{atan}{\left(\log{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в atan(log(x)).
$$\operatorname{atan}{\left(\log{\left(0 \right)} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \left\langle - \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right\rangle$$
Точка:

(0, AccumBounds(-pi/2, pi/2))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{1}{x \left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{1 + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{\log{\left(x \right)}^{2} + 1}}{x^{2} \left(\log{\left(x \right)}^{2} + 1\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = e^{-1}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\log{\left(x \right)} \right)} = \frac{\pi}{2}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \frac{\pi}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\log{\left(x \right)} \right)} = \frac{\pi}{2}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \frac{\pi}{2}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции atan(log(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\operatorname{atan}{\left(\log{\left(x \right)} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\log{\left(- x \right)} \right)}$$
- Нет
$$\operatorname{atan}{\left(\log{\left(x \right)} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\log{\left(- x \right)} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

График функции y = atan(log(x))

График:

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

Решение