Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- -sqrt(x)
- ((x+1)^3)/(x-1)^2
-
27/4*(x^3-x^2)-4
- 1/125*(x^2-5)^3
- Производная:
-
1-2*cos(5*x)
-
Идентичные выражения
- один - два *cos(пять *x)
- 1 минус 2 умножить на косинус от (5 умножить на x)
- один минус два умножить на косинус от (пять умножить на x)
- 1-2cos(5x)
- 1-2cos5x
-
Похожие выражения
- 1+2*cos(5*x)
График функции y = 1-2*cos(5*x)
Решение
Вы ввели
[src]
f(x) = 1 - 2*cos(5*x)
$$f{\left(x \right)} = - 2 \cos{\left(5 x \right)} + 1$$
f = 1 - 2*cos(5*x)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- 2 \cos{\left(5 x \right)} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{15}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = -91.9439449950613$$
$$x_{2} = 68.0678408277789$$
$$x_{3} = -37.9085513533168$$
$$x_{4} = 27.8554548618295$$
$$x_{5} = -87.7551547902749$$
$$x_{6} = 70.162235930172$$
$$x_{7} = -26.1799387799149$$
$$x_{8} = 34.1386401690091$$
$$x_{9} = -51.7315590291119$$
$$x_{10} = -29.9498499642227$$
$$x_{11} = 58.0147443362915$$
$$x_{12} = 90.2684289131467$$
$$x_{13} = 47.9616478448042$$
$$x_{14} = 61.3657765001206$$
$$x_{15} = 54.2448331519838$$
$$x_{16} = 24.0855436775217$$
$$x_{17} = -58.0147443362915$$
$$x_{18} = 71.8377520120866$$
$$x_{19} = -97.8082512817622$$
$$x_{20} = 17.8023583703422$$
$$x_{21} = 32.8820031075732$$
$$x_{22} = -12.7758101245985$$
$$x_{23} = -70.162235930172$$
$$x_{24} = -14.0324471860344$$
$$x_{25} = -40.00294645571$$
$$x_{26} = 26.1799387799149$$
$$x_{27} = -53.8259541315051$$
$$x_{28} = 56.339228254377$$
$$x_{29} = 76.4454212373516$$
$$x_{30} = -27.8554548618295$$
$$x_{31} = 29.9498499642227$$
$$x_{32} = 10.2625360017267$$
$$x_{33} = 60.1091394386847$$
$$x_{34} = -47.9616478448042$$
$$x_{35} = -16.1268422884276$$
$$x_{36} = 22.4100275956072$$
$$x_{37} = 73.9321471144798$$
$$x_{38} = 50.0560429471974$$
$$x_{39} = -68.0678408277789$$
$$x_{40} = -61.7846555205993$$
$$x_{41} = -63.8790506229925$$
$$x_{42} = -17.8023583703422$$
$$x_{43} = 80.2153324216594$$
$$x_{44} = 40.00294645571$$
$$x_{45} = -6.07374579694027$$
$$x_{46} = 64.2979296434711$$
$$x_{47} = 20.315632493214$$
$$x_{48} = -60.1091394386847$$
$$x_{49} = 6.07374579694027$$
$$x_{50} = -65.554566704907$$
$$x_{51} = 78.1209373192662$$
$$x_{52} = -75.6076631963944$$
$$x_{53} = -33.7197611485304$$
$$x_{54} = -77.7020582987875$$
$$x_{55} = -81.8908485035739$$
$$x_{56} = 83.9852436059671$$
$$x_{57} = -3.97935069454707$$
$$x_{58} = -12.3569311041199$$
$$x_{59} = -50.0560429471974$$
$$x_{60} = -80.634211442138$$
$$x_{61} = -83.9852436059671$$
$$x_{62} = -21.5722695546499$$
$$x_{63} = -41.6784625376246$$
$$x_{64} = 16.1268422884276$$
$$x_{65} = -43.7728576400178$$
$$x_{66} = 3.97935069454707$$
$$x_{67} = 66.3923247458643$$
$$x_{68} = -31.6253660461373$$
$$x_{69} = 94.0383400974545$$
$$x_{70} = 46.2861317628896$$
$$x_{71} = -9.84365698124802$$
$$x_{72} = 12.3569311041199$$
$$x_{73} = 91.9439449950613$$
$$x_{74} = 98.2271303022409$$
$$x_{75} = 88.1740338107535$$
$$x_{76} = -85.6607596878817$$
$$x_{77} = -71.8377520120866$$
$$x_{78} = -220.120925261525$$
$$x_{79} = -73.9321471144798$$
$$x_{80} = 100.321525404634$$
$$x_{81} = 14.0324471860344$$
$$x_{82} = 44.1917366604964$$
$$x_{83} = -94.0383400974545$$
$$x_{84} = -37.4896723328382$$
$$x_{85} = -98.2271303022409$$
$$x_{86} = -7.74926187885482$$
$$x_{87} = 36.2330352714023$$
$$x_{88} = -95.713856179369$$
$$x_{89} = 37.9085513533168$$
$$x_{90} = 0.20943951023932$$
$$x_{91} = 2.30383461263252$$
$$x_{92} = 81.8908485035739$$
$$x_{93} = -19.8967534727354$$
значит надо решить уравнение:
$$- 2 \cos{\left(5 x \right)} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{15}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = -91.9439449950613$$
$$x_{2} = 68.0678408277789$$
$$x_{3} = -37.9085513533168$$
$$x_{4} = 27.8554548618295$$
$$x_{5} = -87.7551547902749$$
$$x_{6} = 70.162235930172$$
$$x_{7} = -26.1799387799149$$
$$x_{8} = 34.1386401690091$$
$$x_{9} = -51.7315590291119$$
$$x_{10} = -29.9498499642227$$
$$x_{11} = 58.0147443362915$$
$$x_{12} = 90.2684289131467$$
$$x_{13} = 47.9616478448042$$
$$x_{14} = 61.3657765001206$$
$$x_{15} = 54.2448331519838$$
$$x_{16} = 24.0855436775217$$
$$x_{17} = -58.0147443362915$$
$$x_{18} = 71.8377520120866$$
$$x_{19} = -97.8082512817622$$
$$x_{20} = 17.8023583703422$$
$$x_{21} = 32.8820031075732$$
$$x_{22} = -12.7758101245985$$
$$x_{23} = -70.162235930172$$
$$x_{24} = -14.0324471860344$$
$$x_{25} = -40.00294645571$$
$$x_{26} = 26.1799387799149$$
$$x_{27} = -53.8259541315051$$
$$x_{28} = 56.339228254377$$
$$x_{29} = 76.4454212373516$$
$$x_{30} = -27.8554548618295$$
$$x_{31} = 29.9498499642227$$
$$x_{32} = 10.2625360017267$$
$$x_{33} = 60.1091394386847$$
$$x_{34} = -47.9616478448042$$
$$x_{35} = -16.1268422884276$$
$$x_{36} = 22.4100275956072$$
$$x_{37} = 73.9321471144798$$
$$x_{38} = 50.0560429471974$$
$$x_{39} = -68.0678408277789$$
$$x_{40} = -61.7846555205993$$
$$x_{41} = -63.8790506229925$$
$$x_{42} = -17.8023583703422$$
$$x_{43} = 80.2153324216594$$
$$x_{44} = 40.00294645571$$
$$x_{45} = -6.07374579694027$$
$$x_{46} = 64.2979296434711$$
$$x_{47} = 20.315632493214$$
$$x_{48} = -60.1091394386847$$
$$x_{49} = 6.07374579694027$$
$$x_{50} = -65.554566704907$$
$$x_{51} = 78.1209373192662$$
$$x_{52} = -75.6076631963944$$
$$x_{53} = -33.7197611485304$$
$$x_{54} = -77.7020582987875$$
$$x_{55} = -81.8908485035739$$
$$x_{56} = 83.9852436059671$$
$$x_{57} = -3.97935069454707$$
$$x_{58} = -12.3569311041199$$
$$x_{59} = -50.0560429471974$$
$$x_{60} = -80.634211442138$$
$$x_{61} = -83.9852436059671$$
$$x_{62} = -21.5722695546499$$
$$x_{63} = -41.6784625376246$$
$$x_{64} = 16.1268422884276$$
$$x_{65} = -43.7728576400178$$
$$x_{66} = 3.97935069454707$$
$$x_{67} = 66.3923247458643$$
$$x_{68} = -31.6253660461373$$
$$x_{69} = 94.0383400974545$$
$$x_{70} = 46.2861317628896$$
$$x_{71} = -9.84365698124802$$
$$x_{72} = 12.3569311041199$$
$$x_{73} = 91.9439449950613$$
$$x_{74} = 98.2271303022409$$
$$x_{75} = 88.1740338107535$$
$$x_{76} = -85.6607596878817$$
$$x_{77} = -71.8377520120866$$
$$x_{78} = -220.120925261525$$
$$x_{79} = -73.9321471144798$$
$$x_{80} = 100.321525404634$$
$$x_{81} = 14.0324471860344$$
$$x_{82} = 44.1917366604964$$
$$x_{83} = -94.0383400974545$$
$$x_{84} = -37.4896723328382$$
$$x_{85} = -98.2271303022409$$
$$x_{86} = -7.74926187885482$$
$$x_{87} = 36.2330352714023$$
$$x_{88} = -95.713856179369$$
$$x_{89} = 37.9085513533168$$
$$x_{90} = 0.20943951023932$$
$$x_{91} = 2.30383461263252$$
$$x_{92} = 81.8908485035739$$
$$x_{93} = -19.8967534727354$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$10 \sin{\left(5 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{5}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{5}$$
Убывает на промежутках
$$\left[0, \frac{\pi}{5}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{5}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$10 \sin{\left(5 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{5}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, -1)
pi (--, 3) 5
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{5}$$
Убывает на промежутках
$$\left[0, \frac{\pi}{5}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{5}, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$50 \cos{\left(5 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\pi}{10}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{10}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{10}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{10}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{10}, \frac{3 \pi}{10}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$50 \cos{\left(5 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\pi}{10}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{10}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{10}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{10}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{10}, \frac{3 \pi}{10}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 2 \cos{\left(5 x \right)} + 1\right) = \left\langle -1, 3\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 3\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 2 \cos{\left(5 x \right)} + 1\right) = \left\langle -1, 3\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 3\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 2 \cos{\left(5 x \right)} + 1\right) = \left\langle -1, 3\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 3\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 2 \cos{\left(5 x \right)} + 1\right) = \left\langle -1, 3\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 3\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1 - 2*cos(5*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 2 \cos{\left(5 x \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 \cos{\left(5 x \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 2 \cos{\left(5 x \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 \cos{\left(5 x \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- 2 \cos{\left(5 x \right)} + 1 = - 2 \cos{\left(5 x \right)} + 1$$
- Да
$$- 2 \cos{\left(5 x \right)} + 1 = 2 \cos{\left(5 x \right)} - 1$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
Итак, проверяем:
$$- 2 \cos{\left(5 x \right)} + 1 = - 2 \cos{\left(5 x \right)} + 1$$
- Да
$$- 2 \cos{\left(5 x \right)} + 1 = 2 \cos{\left(5 x \right)} - 1$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
График