Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
-
Уравнение 23,3x=822,49
-
Уравнение (x+5)²=0
-
Уравнение -2x^2+7x-6=0
-
Уравнение x^9=512
- Выразите {x} через y в уравнении:
- -7*x+2*y=-9
- -4*x-2*y=-8
- 3*x-2*y=8
- 2*x+9*y=13
- Производная:
-
x^9
- Интеграл d{x}:
-
x^9
- Предел функции:
-
x^9
-
Идентичные выражения
- x^ девять = пятьсот двенадцать
- x в степени 9 равно 512
- x в степени девять равно пятьсот двенадцать
- x9=512
- x⁹=512
-
Похожие выражения
- (6x)^9*(36x^4)^3/(6x^3)^5*(216x)^3*x=54
- x^(9/10)=1
- 3*(x+5)=5*(12-x)-5
x^9=512 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$x^{9} = 512$$
Т.к. степень в уравнении равна = 9 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 9-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[9]{\left(1 x + 0\right)^{9}} = \sqrt[9]{512}$$
или
$$x = 2$$
Получим ответ: x = 2
Остальные 8 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{9} = 512$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{9} e^{9 i p} = 512$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{9 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(9 p \right)} + \cos{\left(9 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(9 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(9 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{9}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 2$$
$$z_{2} = -1 - \sqrt{3} i$$
$$z_{3} = -1 + \sqrt{3} i$$
$$z_{4} = - 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$z_{5} = - 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$z_{6} = 2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$z_{7} = 2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$z_{8} = 2 \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$
$$z_{9} = 2 \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -1 - \sqrt{3} i$$
$$x_{3} = -1 + \sqrt{3} i$$
$$x_{4} = - 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$x_{5} = - 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$x_{6} = 2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$x_{7} = 2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$x_{8} = 2 \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$
$$x_{9} = 2 \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$
$$x^{9} = 512$$
Т.к. степень в уравнении равна = 9 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 9-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[9]{\left(1 x + 0\right)^{9}} = \sqrt[9]{512}$$
или
$$x = 2$$
Получим ответ: x = 2
Остальные 8 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{9} = 512$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{9} e^{9 i p} = 512$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{9 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(9 p \right)} + \cos{\left(9 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(9 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(9 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{9}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 2$$
$$z_{2} = -1 - \sqrt{3} i$$
$$z_{3} = -1 + \sqrt{3} i$$
$$z_{4} = - 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$z_{5} = - 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$z_{6} = 2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$z_{7} = 2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$z_{8} = 2 \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$
$$z_{9} = 2 \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -1 - \sqrt{3} i$$
$$x_{3} = -1 + \sqrt{3} i$$
$$x_{4} = - 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$x_{5} = - 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$x_{6} = 2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$x_{7} = 2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$x_{8} = 2 \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$
$$x_{9} = 2 \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$
Быстрый ответ
[src]
x_1 = 2
$$x_{1} = 2$$
___ x_2 = -1 - I*\/ 3
$$x_{2} = -1 - \sqrt{3} i$$
___ x_3 = -1 + I*\/ 3
$$x_{3} = -1 + \sqrt{3} i$$
/pi\ /pi\
x_4 = - 2*cos|--| - 2*I*sin|--|
\9 / \9 /
$$x_{4} = - 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
/pi\ /pi\
x_5 = - 2*cos|--| + 2*I*sin|--|
\9 / \9 /
$$x_{5} = - 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
/2*pi\ /2*pi\
x_6 = 2*cos|----| - 2*I*sin|----|
\ 9 / \ 9 /
$$x_{6} = 2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
/2*pi\ /2*pi\
x_7 = 2*cos|----| + 2*I*sin|----|
\ 9 / \ 9 /
$$x_{7} = 2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
/pi\ /pi\
x_8 = 2*sin|--| - 2*I*cos|--|
\18/ \18/
$$x_{8} = 2 \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)} - 2 i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}$$
/pi\ /pi\
x_9 = 2*sin|--| + 2*I*cos|--|
\18/ \18/
$$x_{9} = 2 \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + 2 i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
___ ___ /pi\ /pi\ /pi\ /pi\ /2*pi\ /2*pi\ /2*pi\ /2*pi\ /pi\ /pi\ /pi\ /pi\
2 + -1 - I*\/ 3 + -1 + I*\/ 3 + - 2*cos|--| - 2*I*sin|--| + - 2*cos|--| + 2*I*sin|--| + 2*cos|----| - 2*I*sin|----| + 2*cos|----| + 2*I*sin|----| + 2*sin|--| - 2*I*cos|--| + 2*sin|--| + 2*I*cos|--|
\9 / \9 / \9 / \9 / \ 9 / \ 9 / \ 9 / \ 9 / \18/ \18/ \18/ \18/
$$\left(2\right) + \left(-1 - \sqrt{3} i\right) + \left(-1 + \sqrt{3} i\right) + \left(- 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right) + \left(- 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right) + \left(2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}\right) + \left(2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}\right) + \left(2 \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)} - 2 i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}\right) + \left(2 \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + 2 i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}\right)$$
=
/pi\ /2*pi\ /pi\
- 4*cos|--| + 4*cos|----| + 4*sin|--|
\9 / \ 9 / \18/
$$- 4 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 4 \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + 4 \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
произведение
___ ___ /pi\ /pi\ /pi\ /pi\ /2*pi\ /2*pi\ /2*pi\ /2*pi\ /pi\ /pi\ /pi\ /pi\
2 * -1 - I*\/ 3 * -1 + I*\/ 3 * - 2*cos|--| - 2*I*sin|--| * - 2*cos|--| + 2*I*sin|--| * 2*cos|----| - 2*I*sin|----| * 2*cos|----| + 2*I*sin|----| * 2*sin|--| - 2*I*cos|--| * 2*sin|--| + 2*I*cos|--|
\9 / \9 / \9 / \9 / \ 9 / \ 9 / \ 9 / \ 9 / \18/ \18/ \18/ \18/
$$\left(2\right) * \left(-1 - \sqrt{3} i\right) * \left(-1 + \sqrt{3} i\right) * \left(- 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right) * \left(- 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right) * \left(2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}\right) * \left(2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}\right) * \left(2 \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)} - 2 i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}\right) * \left(2 \sin{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + 2 i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}\right)$$
=
4/pi\ 6/pi\ 6/pi\ 2/pi\
-1536 - 6144*sin |--| + 2048*cos |--| + 2048*sin |--| + 6144*sin |--|
\9 / \9 / \9 / \9 /
$$-1536 - 6144 \sin^{4}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 2048 \sin^{6}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 6144 \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 2048 \cos^{6}{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
Численный ответ
[src]
x1 = 0.347296355333861 + 1.96961550602442*i
x2 = 1.53208888623796 + 1.28557521937308*i
x3 = -1.87938524157182 + 0.684040286651337*i
x4 = -1.0 + 1.73205080756888*i
x5 = -1.0 - 1.73205080756888*i
x6 = -1.87938524157182 - 0.684040286651337*i
x7 = 2.0
x8 = 1.53208888623796 - 1.28557521937308*i
x9 = 0.347296355333861 - 1.96961550602442*i
x9 = 0.347296355333861 - 1.96961550602442*i
График