x^4+32*x=0 уравнение

Дано уравнение
$$x^{4} + 32 x = 0$$
Очевидно:

x0 = 0

далее,
преобразуем
$$x^{3} = -32$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{-32}$$
или
$$x = 2 \sqrt[3]{-1} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения

x = -2*1^1/3*2^2/3

Получим ответ: x = 2*(-1)^(1/3)*2^(2/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{3} = -32$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -32$$
где
$$r = 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$$
$$z_{2} = 2^{\frac{2}{3}} - 2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i$$
$$z_{3} = 2^{\frac{2}{3}} + 2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:

x0 = 0

$$x_{1} = - 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$$
$$x_{2} = 2^{\frac{2}{3}} - 2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i$$
$$x_{3} = 2^{\frac{2}{3}} + 2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i$$