Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
-
Уравнение x^4+1=0
-
Уравнение х+6-5х^2=0
-
Уравнение 2cos(x)=1
-
Уравнение 3.5x=1
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 5*x+2*y=12
- 8*x-4*y=12
- 5*x+3*y=0
- 4*x-4*y=12
- Разложить многочлен на множители:
- x^4+1
- Производная:
-
x^4+1
- Раскрыть скобки в:
- x^4+1
-
Идентичные выражения
- x^ четыре + один = ноль
- x в степени 4 плюс 1 равно 0
- x в степени четыре плюс один равно ноль
- x4+1=0
- x⁴+1=0
- x^4+1=O
-
Похожие выражения
- sqrt(x)^4+19=10
- x^4-1=0
x^4+1=0 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$x^{4} + 1 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 4 и свободный член = -1 < 0,
зн. действительных решений у соответствующего уравнения не существует
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{4} = -1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = -1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$x^{4} + 1 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 4 и свободный член = -1 < 0,
зн. действительных решений у соответствующего уравнения не существует
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{4} = -1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = -1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
Быстрый ответ
[src]
___ ___
\/ 2 I*\/ 2
x_1 = - ----- - -------
2 2
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
___ ___
\/ 2 I*\/ 2
x_2 = - ----- + -------
2 2
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
___ ___
\/ 2 I*\/ 2
x_3 = ----- - -------
2 2
$$x_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
___ ___
\/ 2 I*\/ 2
x_4 = ----- + -------
2 2
$$x_{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
\/ 2 I*\/ 2 \/ 2 I*\/ 2 \/ 2 I*\/ 2 \/ 2 I*\/ 2
- ----- - ------- + - ----- + ------- + ----- - ------- + ----- + -------
2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) + \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
\/ 2 I*\/ 2 \/ 2 I*\/ 2 \/ 2 I*\/ 2 \/ 2 I*\/ 2
- ----- - ------- * - ----- + ------- * ----- - ------- * ----- + -------
2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) * \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) * \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) * \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right)$$
=
1
$$1$$
Численный ответ
[src]
x1 = 0.707106781186548 + 0.707106781186548*i
x2 = -0.707106781186548 - 0.707106781186548*i
x3 = -0.707106781186548 + 0.707106781186548*i
x4 = 0.707106781186548 - 0.707106781186548*i
x4 = 0.707106781186548 - 0.707106781186548*i
График