(x+4)^3=-125 уравнение

Дано уравнение
$$\left(x + 4\right)^{3} = -125$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 4\right)^{3}} = \sqrt[3]{-125}$$
или
$$x + 4 = 5 \sqrt[3]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения

4 + x = -5*1^1/3

Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -4 + 5 \sqrt[3]{-1}$$
Получим ответ: x = -4 + 5*(-1)^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x + 4$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{3} = -125$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -125$$
где
$$r = 5$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -5$$
$$z_{2} = \frac{5}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{5}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x + 4$$
$$x = z - 4$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -9$$
$$x_{2} = - \frac{3}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{3}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$