9^x+8*3^x=9 уравнение

Дано уравнение:
$$8 \cdot 3^{x} + 9^{x} = 9$$
или
$$\left(8 \cdot 3^{x} + 9^{x}\right) - 9 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 3^{x}$$
получим
$$v^{2} + 8 v - 9 = 0$$
или
$$v^{2} + 8 v - 9 = 0$$
Это уравнение вида
$$a\ v^2 + b\ v + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 8$$
$$c = -9$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$\left(-1\right) 1 \cdot 4 \left(-9\right) + 8^{2} = 100$$
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
$$v_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$v_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$v_{1} = 1$$
Упростить
$$v_{2} = -9$$
Упростить
делаем обратную замену
$$3^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$x_{1} = \frac{\log{\left(1 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\log{\left(-9 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} = \frac{\log{\left(9 \right)} + i \pi}{\log{\left(3 \right)}}$$