Производная x^3*log(x)^(2)

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x^{3}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

   $g{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}^{2}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \log{\left(x \right)}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}$:

      1. Производная $\log{\left(x \right)}$ является $\frac{1}{x}$.

      В результате последовательности правил:

      $\frac{2 \log{\left(x \right)}}{x}$

   В результате: $3 x^{2} \log{\left(x \right)}^{2} + 2 x^{2} \log{\left(x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $x^{2} \cdot \left(3 \log{\left(x \right)} + 2\right) \log{\left(x \right)}$

Ответ:

$x^{2} \cdot \left(3 \log{\left(x \right)} + 2\right) \log{\left(x \right)}$