Производная x^3/sqrt(x^4+1)

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x^{3}$ и $g{\left(x \right)} = \sqrt{x^{4} + 1}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = x^{4} + 1$.

   2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x^{4} + 1\right)$:

      1. дифференцируем $x^{4} + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x^{4}$ получим $4 x^{3}$

         В результате: $4 x^{3}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{2 x^{3}}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{- \frac{2 x^{6}}{\sqrt{x^{4} + 1}} + 3 x^{2} \sqrt{x^{4} + 1}}{x^{4} + 1}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x^{2} \left(x^{4} + 3\right)}{\left(x^{4} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$

Ответ:

$\frac{x^{2} \left(x^{4} + 3\right)}{\left(x^{4} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$