Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
x^3/sqrt(x^4+1)
-
-x^3-6*x^2+7
-
cos(x)+x^2
-
3*x^2-6*x-45
- Производная:
-
x^3/sqrt(x^4+1)
- Интеграл d{x}:
-
x^3/sqrt(x^4+1)
-
Идентичные выражения
- x^ три /sqrt(x^ четыре + один)
- x в кубе делить на квадратный корень из (x в степени 4 плюс 1)
- x в степени три делить на квадратный корень из (x в степени четыре плюс один)
- x^3/√(x^4+1)
- x3/sqrt(x4+1)
- x3/sqrtx4+1
- x³/sqrt(x⁴+1)
- x в степени 3/sqrt(x в степени 4+1)
- x^3/sqrtx^4+1
- x^3 разделить на sqrt(x^4+1)
-
Похожие выражения
- x^3/sqrt(x^4-1)
-
Что Вы имели ввиду?
- x^3/(sqrt(x^4 + 1))
- x^3/(sqrt(x^4) + 1)
- x^3/(sqrt(x)*4 + 1)
- x^3/((sqrt(x))^4 + 1)
- x^3*(x^4 + 1)/(sqrt(x))
- x*3/sqrt(x^4 + 1)
- x^3*(x^4 + 1)/(sqrt(x))
Вы ввели:
x^3/sqrt(x^4+1)
Что Вы имели ввиду?
График функции y = x^3/sqrt(x^4+1)
Решение
Вы ввели
[src]
3
x
f(x) = -----------
________
/ 4
\/ x + 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{4} + 1}}$$
f = x^3/(sqrt(x^4 + 1))
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{4} + 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = -8.263060031879 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{2} = 6.24645733335086 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{3} = 0$$
$$x_{4} = -1.18144713611121 \cdot 10^{-5}$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{4} + 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = -8.263060031879 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{2} = 6.24645733335086 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{3} = 0$$
$$x_{4} = -1.18144713611121 \cdot 10^{-5}$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 x^{6}}{\left(x^{4} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{3 x^{2}}{\sqrt{x^{4} + 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Возрастает на всей числовой оси
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 x^{6}}{\left(x^{4} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{3 x^{2}}{\sqrt{x^{4} + 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Возрастает на всей числовой оси
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{6 x \left(\frac{x^{4} \cdot \left(\frac{2 x^{4}}{x^{4} + 1} - 1\right)}{x^{4} + 1} - \frac{2 x^{4}}{x^{4} + 1} + 1\right)}{\sqrt{x^{4} + 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{6 x \left(\frac{x^{4} \cdot \left(\frac{2 x^{4}}{x^{4} + 1} - 1\right)}{x^{4} + 1} - \frac{2 x^{4}}{x^{4} + 1} + 1\right)}{\sqrt{x^{4} + 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{4} + 1}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{4} + 1}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{4} + 1}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{4} + 1}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3/(sqrt(x^4 + 1)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{4} + 1}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{4} + 1}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{4} + 1}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{4} + 1}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{4} + 1}} = - \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{4} + 1}}$$
- Нет
$$\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{4} + 1}} = \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{4} + 1}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{4} + 1}} = - \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{4} + 1}}$$
- Нет
$$\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{4} + 1}} = \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{4} + 1}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График