Производная x^2*sqrt(1-x)

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x^{2}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

   $g{\left(x \right)} = \sqrt{1 - x}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = 1 - x$.

   2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(1 - x\right)$:

      1. дифференцируем $1 - x$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $-1$

         В результате: $-1$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}$

   В результате: $- \frac{x^{2}}{2 \sqrt{1 - x}} + 2 x \sqrt{1 - x}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x \left(4 - 5 x\right)}{2 \sqrt{1 - x}}$

Ответ:

$\frac{x \left(4 - 5 x\right)}{2 \sqrt{1 - x}}$