Производная x^2*e^x*(cos(x)+sin(x))

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} h{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} h{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} h{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} h{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x^{2}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

   $g{\left(x \right)} = e^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Производная $e^{x}$ само оно.

   $h{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} h{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$ почленно:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      В результате: $- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

   В результате: $x^{2} \left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{x} + x^{2} \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{x} + 2 x \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}$

2. Теперь упростим:

   $2 x \left(x \cos{\left(x \right)} + \sqrt{2} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\right) e^{x}$

Ответ:

$2 x \left(x \cos{\left(x \right)} + \sqrt{2} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\right) e^{x}$