Производная x^2*e^(-x^2)+e^(-x^2)

1. дифференцируем $x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$ почленно:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = x^{2}$ и $g{\left(x \right)} = e^{x^{2}}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = x^{2}$.

      2. Производная $e^{u}$ само оно.

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} x^{2}$:

         1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         В результате последовательности правил:

         $2 x e^{x^{2}}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\left(- 2 x^{3} e^{x^{2}} + 2 x e^{x^{2}}\right) e^{- 2 x^{2}}$

   2. Заменим $u = - x^{2}$.

   3. Производная $e^{u}$ само оно.

   4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(- x^{2}\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         Таким образом, в результате: $- 2 x$

      В результате последовательности правил:

      $- 2 x e^{- x^{2}}$

   В результате: $- 2 x e^{- x^{2}} + \left(- 2 x^{3} e^{x^{2}} + 2 x e^{x^{2}}\right) e^{- 2 x^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $- 2 x^{3} e^{- x^{2}}$

Ответ:

$- 2 x^{3} e^{- x^{2}}$