Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Производная:
Производная x^3*log(x)
Производная tan(3*x)^(4)
Производная (x^3)/(2*x+4)
Производная sqrt(1+sin(6*x)^(2))
График функции y =:
(x^4-9*x^2)/((x-4)^2*(x+1)^3)
Идентичные выражения
(x^ четыре - девять *x^ два)/((x- четыре)^ два *(x+ один)^ три)
(x в степени 4 минус 9 умножить на x в квадрате ) делить на ((x минус 4) в квадрате умножить на (x плюс 1) в кубе )
(x в степени четыре минус девять умножить на x в степени два) делить на ((x минус четыре) в степени два умножить на (x плюс один) в степени три)
(x4-9*x2)/((x-4)2*(x+1)3)
x4-9*x2/x-42*x+13
(x⁴-9*x²)/((x-4)²*(x+1)³)
(x в степени 4-9*x в степени 2)/((x-4) в степени 2*(x+1) в степени 3)
(x^4-9x^2)/((x-4)^2(x+1)^3)
(x4-9x2)/((x-4)2(x+1)3)
x4-9x2/x-42x+13
x^4-9x^2/x-4^2x+1^3
(x^4-9*x^2) разделить на ((x-4)^2*(x+1)^3)
Похожие выражения
(x^4+9*x^2)/((x-4)^2*(x+1)^3)
(x^4-9*x^2)/((x-4)^2*(x-1)^3)
(x^4-9*x^2)/((x+4)^2*(x+1)^3)

Производная функции/ (x^4-9*x^2)/((x-4)^2*(x+1)^3)

Производная (x^4-9x^2)/((x-4)^2(x+1)^3)

Решение

Вы ввели [src]

     4      2    
    x  - 9*x     
-----------------
       2        3
(x - 4) *(x + 1)

$$\frac{x^{4} - 9 x^{2}}{\left(x + 1\right)^{3} \left(x - 4\right)^{2}}$$

  /     4      2    \
d |    x  - 9*x     |
--|-----------------|
dx|       2        3|
  \(x - 4) *(x + 1) /

$$\frac{d}{d x} \frac{x^{4} - 9 x^{2}}{\left(x + 1\right)^{3} \left(x - 4\right)^{2}}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применим правило производной частного:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = x^{4} - 9 x^{2}$ и $g{\left(x \right)} = \left(x - 4\right)^{2} \left(x + 1\right)^{3}$ .

Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. дифференцируем $x^{4} - 9 x^{2}$ почленно:
  1. В силу правила, применим: $x^{4}$ получим $4 x^{3}$
  2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
    1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$
    Таким образом, в результате: $- 18 x$
  В результате: $4 x^{3} - 18 x$
Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Применяем правило производной умножения:
  
  $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
  
  $f{\left(x \right)} = \left(x + 1\right)^{3}$ ; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Заменим $u = x + 1$ .
  2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$
  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)$ :
    1. дифференцируем $x + 1$ почленно:
      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.
      2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      В результате: $1$
    В результате последовательности правил:
    
    $3 \left(x + 1\right)^{2}$
  $g{\left(x \right)} = \left(x - 4\right)^{2}$ ; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Заменим $u = x - 4$ .
  2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$
  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x - 4\right)$ :
    1. дифференцируем $x - 4$ почленно:
      1. Производная постоянной $-4$ равна нулю.
      2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      В результате: $1$
    В результате последовательности правил:
    
    $2 x - 8$
  В результате: $3 \left(x - 4\right)^{2} \left(x + 1\right)^{2} + \left(x + 1\right)^{3} \cdot \left(2 x - 8\right)$
Теперь применим правило производной деления:

$\frac{\left(x - 4\right)^{2} \left(x + 1\right)^{3} \cdot \left(4 x^{3} - 18 x\right) - \left(x^{4} - 9 x^{2}\right) \left(3 \left(x - 4\right)^{2} \left(x + 1\right)^{2} + \left(x + 1\right)^{3} \cdot \left(2 x - 8\right)\right)}{\left(x - 4\right)^{4} \left(x + 1\right)^{6}}$
Теперь упростим:

$\frac{x \left(- 5 x \left(x - 2\right) \left(x^{2} - 9\right) + 2 \left(x - 4\right) \left(x + 1\right) \left(2 x^{2} - 9\right)\right)}{\left(x - 4\right)^{3} \left(x + 1\right)^{4}}$

Ответ:

$\frac{x \left(- 5 x \left(x - 2\right) \left(x^{2} - 9\right) + 2 \left(x - 4\right) \left(x + 1\right) \left(2 x^{2} - 9\right)\right)}{\left(x - 4\right)^{3} \left(x + 1\right)^{4}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

                                   / 4      2\ /         3                       2        2\
        1         /           3\   \x  - 9*x /*\- (x + 1) *(-8 + 2*x) - 3*(x + 1) *(x - 4) /
-----------------*\-18*x + 4*x / + ---------------------------------------------------------
       3        2                                             6        4                    
(x + 1) *(x - 4)                                       (x + 1) *(x - 4)

$$\frac{1}{\left(x + 1\right)^{3} \left(x - 4\right)^{2}} \cdot \left(4 x^{3} - 18 x\right) + \frac{\left(x^{4} - 9 x^{2}\right) \left(- \left(x + 1\right)^{3} \cdot \left(2 x - 8\right) - 3 \left(x + 1\right)^{2} \left(x - 4\right)^{2}\right)}{\left(x + 1\right)^{6} \left(x - 4\right)^{4}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

                           /                                                            /       2             2                     \\                            
               2 /      2\ |           /  2        3  \   10*(-2 + x)   15*(-2 + x)   2*\(1 + x)  + 3*(-4 + x)  + 6*(1 + x)*(-4 + x)/|                            
              x *\-9 + x /*|5*(-2 + x)*|------ + -----| + ----------- + ----------- - -----------------------------------------------|        /        2\         
          2                \           \-4 + x   1 + x/      -4 + x        1 + x                      (1 + x)*(-4 + x)               /   20*x*\-9 + 2*x /*(-2 + x)
-18 + 12*x  + ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ - -------------------------
                                                                  (1 + x)*(-4 + x)                                                            (1 + x)*(-4 + x)    
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                               3         2                                                                        
                                                                        (1 + x) *(-4 + x)

$$\frac{12 x^{2} + \frac{x^{2} \left(x^{2} - 9\right) \left(5 \left(x - 2\right) \left(\frac{3}{x + 1} + \frac{2}{x - 4}\right) + \frac{15 \left(x - 2\right)}{x + 1} + \frac{10 \left(x - 2\right)}{x - 4} - \frac{2 \cdot \left(3 \left(x - 4\right)^{2} + 6 \left(x - 4\right) \left(x + 1\right) + \left(x + 1\right)^{2}\right)}{\left(x - 4\right) \left(x + 1\right)}\right)}{\left(x - 4\right) \left(x + 1\right)} - \frac{20 x \left(x - 2\right) \left(2 x^{2} - 9\right)}{\left(x - 4\right) \left(x + 1\right)} - 18}{\left(x - 4\right)^{2} \left(x + 1\right)^{3}}$$

Упростить

Третья производная [src]

                                              /                                                                                                                                                                                                                                                         /  2        3  \               /  2        3  \                        /  2        3  \ /       2             2                     \\                                                                                                                              
                                              |                                                                                        /       2             2                     \      /       2             2                     \     /        2            2                     \   10*(-2 + x)*|------ + -----|   15*(-2 + x)*|------ + -----|                      2*|------ + -----|*\(1 + x)  + 3*(-4 + x)  + 6*(1 + x)*(-4 + x)/|                                                                                                                              
                                  2 /      2\ |            /    1          2              2        \   50*(-2 + x)   105*(-2 + x)   18*\(1 + x)  + 3*(-4 + x)  + 6*(1 + x)*(-4 + x)/   12*\(1 + x)  + 3*(-4 + x)  + 6*(1 + x)*(-4 + x)/   6*\(-4 + x)  + 3*(1 + x)  + 6*(1 + x)*(-4 + x)/               \-4 + x   1 + x/               \-4 + x   1 + x/     120*(-2 + x)       \-4 + x   1 + x/                                              |                   /                                                            /       2             2                     \\
                                 x *\-9 + x /*|30*(-2 + x)*|--------- + -------- + ----------------| + ----------- + ------------ - ------------------------------------------------ - ------------------------------------------------ + ----------------------------------------------- + ---------------------------- + ---------------------------- + ---------------- - ----------------------------------------------------------------|       /        2\ |           /  2        3  \   10*(-2 + x)   15*(-2 + x)   2*\(1 + x)  + 3*(-4 + x)  + 6*(1 + x)*(-4 + x)/|
          /        2\                         |            |        2          2   (1 + x)*(-4 + x)|            2             2                           2                                                           2                                         2                                      -4 + x                         1 + x               (1 + x)*(-4 + x)                           (1 + x)*(-4 + x)                        |   6*x*\-9 + 2*x /*|5*(-2 + x)*|------ + -----| + ----------- + ----------- - -----------------------------------------------|
       90*\-3 + 2*x /*(-2 + x)                \            \(-4 + x)    (1 + x)                    /    (-4 + x)       (1 + x)                     (1 + x) *(-4 + x)                                  (1 + x)*(-4 + x)                                   (1 + x) *(-4 + x)                                                                                                                                                                   /                   \           \-4 + x   1 + x/      -4 + x        1 + x                      (1 + x)*(-4 + x)               /
24*x - ----------------------- - ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
           (1 + x)*(-4 + x)                                                                                                                                                                                                     (1 + x)*(-4 + x)                                                                                                                                                                                                                                                       (1 + x)*(-4 + x)                                                     
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                                                                                                                                                    3         2                                                                                                                                                                                                                                                                             
                                                                                                                                                                                                                                                                             (1 + x) *(-4 + x)

$$\frac{- \frac{x^{2} \left(x^{2} - 9\right) \left(30 \left(x - 2\right) \left(\frac{2}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2}{\left(x - 4\right) \left(x + 1\right)} + \frac{1}{\left(x - 4\right)^{2}}\right) + \frac{15 \left(x - 2\right) \left(\frac{3}{x + 1} + \frac{2}{x - 4}\right)}{x + 1} + \frac{10 \left(x - 2\right) \left(\frac{3}{x + 1} + \frac{2}{x - 4}\right)}{x - 4} - \frac{2 \cdot \left(\frac{3}{x + 1} + \frac{2}{x - 4}\right) \left(3 \left(x - 4\right)^{2} + 6 \left(x - 4\right) \left(x + 1\right) + \left(x + 1\right)^{2}\right)}{\left(x - 4\right) \left(x + 1\right)} + \frac{105 \left(x - 2\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{120 \left(x - 2\right)}{\left(x - 4\right) \left(x + 1\right)} + \frac{50 \left(x - 2\right)}{\left(x - 4\right)^{2}} + \frac{6 \left(\left(x - 4\right)^{2} + 6 \left(x - 4\right) \left(x + 1\right) + 3 \left(x + 1\right)^{2}\right)}{\left(x - 4\right) \left(x + 1\right)^{2}} - \frac{18 \cdot \left(3 \left(x - 4\right)^{2} + 6 \left(x - 4\right) \left(x + 1\right) + \left(x + 1\right)^{2}\right)}{\left(x - 4\right) \left(x + 1\right)^{2}} - \frac{12 \cdot \left(3 \left(x - 4\right)^{2} + 6 \left(x - 4\right) \left(x + 1\right) + \left(x + 1\right)^{2}\right)}{\left(x - 4\right)^{2} \left(x + 1\right)}\right)}{\left(x - 4\right) \left(x + 1\right)} + 24 x + \frac{6 x \left(2 x^{2} - 9\right) \left(5 \left(x - 2\right) \left(\frac{3}{x + 1} + \frac{2}{x - 4}\right) + \frac{15 \left(x - 2\right)}{x + 1} + \frac{10 \left(x - 2\right)}{x - 4} - \frac{2 \cdot \left(3 \left(x - 4\right)^{2} + 6 \left(x - 4\right) \left(x + 1\right) + \left(x + 1\right)^{2}\right)}{\left(x - 4\right) \left(x + 1\right)}\right)}{\left(x - 4\right) \left(x + 1\right)} - \frac{90 \left(x - 2\right) \left(2 x^{2} - 3\right)}{\left(x - 4\right) \left(x + 1\right)}}{\left(x - 4\right)^{2} \left(x + 1\right)^{3}}$$

Упростить

График

Производная (x^4-9*x^2)/((x-4)^2*(x+1)^3)

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная (x^4-9x^2)/((x-4)^2(x+1)^3)

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная (x^4-9*x^2)/((x-4)^2*(x+1)^3)

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Производная (x^4-9x^2)/((x-4)^2(x+1)^3)