Производная (x+pi/6)*sin(2*x+pi/3)+cos(2*x+pi/3)

1. дифференцируем $\left(x + \frac{\pi}{6}\right) \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)} + \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)}$ почленно:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \left(6 x + \pi\right) \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = 6$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Применяем правило производной умножения:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = 6 x + \pi$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. дифференцируем $6 x + \pi$ почленно:

            1. Производная постоянной $\pi$ равна нулю.

            2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $6$

            В результате: $6$

         $g{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = 2 x + \frac{\pi}{3}$.

         2. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(2 x + \frac{\pi}{3}\right)$:

            1. дифференцируем $2 x + \frac{\pi}{3}$ почленно:

               1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                  1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

                  Таким образом, в результате: $2$

               2. Производная постоянной $\frac{\pi}{3}$ равна нулю.

               В результате: $2$

            В результате последовательности правил:

            $2 \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)}$

         В результате: $2 \cdot \left(6 x + \pi\right) \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)} + 6 \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Производная постоянной $6$ равна нулю.

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{\left(6 x + \pi\right) \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)}}{3} + \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)}$

   2. Заменим $u = 2 x + \frac{\pi}{3}$.

   3. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(2 x + \frac{\pi}{3}\right)$:

      1. дифференцируем $2 x + \frac{\pi}{3}$ почленно:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $2$

         2. Производная постоянной $\frac{\pi}{3}$ равна нулю.

         В результате: $2$

      В результате последовательности правил:

      $- 2 \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)}$

   В результате: $\frac{\left(6 x + \pi\right) \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)}}{3} - 2 \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)} + \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)}$

2. Теперь упростим:

   $\left(2 x + \frac{\pi}{3}\right) \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)} - \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)}$

Ответ:

$\left(2 x + \frac{\pi}{3}\right) \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)} - \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)}$