Производная (x-cot(x))/tan(x)

Решение

Вы ввели [src]

x - cot(x)
----------
  tan(x)

$$\frac{x - \cot{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}$$

d /x - cot(x)\
--|----------|
dx\  tan(x)  /

$$\frac{d}{d x} \frac{x - \cot{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применим правило производной частного:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = x - \cot{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}$ .

Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. дифференцируем $x - \cot{\left(x \right)}$ почленно:
  1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
  2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
    1. Есть несколько способов вычислить эту производную.
      Method #1
      
      Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      
      $\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$
      
      Заменим $u = \tan{\left(x \right)}$ .
      
      В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$
      
      Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$ :
      
      Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      
      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
      
      Применим правило производной частного:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      
      Теперь применим правило производной деления:
      
      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$
      Method #2
      
      Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      
      $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$
      
      Применим правило производной частного:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      
      Теперь применим правило производной деления:
      
      $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$
    Таким образом, в результате: $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$
  В результате: $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + 1$
Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
Теперь применим правило производной деления:

$\frac{- \frac{\left(x - \cot{\left(x \right)}\right) \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \tan{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)}}$
Теперь упростим:

$\frac{- x \tan{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)} + 2}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{3}{\left(x \right)}}$

Ответ:

$\frac{- x \tan{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)} + 2}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{3}{\left(x \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

       2      /        2   \             
2 + cot (x)   \-1 - tan (x)/*(x - cot(x))
----------- + ---------------------------
   tan(x)                  2             
                        tan (x)

$$\frac{\left(x - \cot{\left(x \right)}\right) \left(- \tan^{2}{\left(x \right)} - 1\right)}{\tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\cot^{2}{\left(x \right)} + 2}{\tan{\left(x \right)}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

  /                                       /            2   \                /       2   \ /       2   \\
  |  /       2   \          /       2   \ |     1 + tan (x)|                \1 + tan (x)/*\2 + cot (x)/|
2*|- \1 + cot (x)/*cot(x) + \1 + tan (x)/*|-1 + -----------|*(x - cot(x)) - ---------------------------|
  |                                       |          2     |                           tan(x)          |
  \                                       \       tan (x)  /                                           /
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                 tan(x)

$$\frac{2 \left(\left(x - \cot{\left(x \right)}\right) \left(-1 + \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan^{2}{\left(x \right)}}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) - \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)} - \frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 2\right)}{\tan{\left(x \right)}}\right)}{\tan{\left(x \right)}}$$

Упростить

Третья производная [src]

  /                                                                                                                       /            2   \                                                     \
  |                                                                                                         /       2   \ |     1 + tan (x)| /       2   \                                       |
  |               /                               2                  3\                                   3*\1 + tan (x)/*|-1 + -----------|*\2 + cot (x)/                                       |
  |               |                  /       2   \      /       2   \ |   /       2   \ /         2   \                   |          2     |                   /       2   \ /       2   \       |
  |               |         2      5*\1 + tan (x)/    3*\1 + tan (x)/ |   \1 + cot (x)/*\1 + 3*cot (x)/                   \       tan (x)  /                 3*\1 + cot (x)/*\1 + tan (x)/*cot(x)|
2*|- (x - cot(x))*|2 + 2*tan (x) - ---------------- + ----------------| + ----------------------------- + ------------------------------------------------ + ------------------------------------|
  |               |                       2                  4        |               tan(x)                                   tan(x)                                         2                  |
  \               \                    tan (x)            tan (x)     /                                                                                                    tan (x)               /

$$2 \left(- \left(x - \cot{\left(x \right)}\right) \left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} - \frac{5 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\tan^{2}{\left(x \right)}} + 2 + \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{3}}{\tan^{4}{\left(x \right)}}\right) + \frac{3 \left(-1 + \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan^{2}{\left(x \right)}}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 2\right)}{\tan{\left(x \right)}} + \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\tan{\left(x \right)}}\right)$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная (x-cot(x))/tan(x)

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Method #1

Method #2