Производная (tan(x)-cot(x))/tan(x)

Решение

Вы ввели [src]

tan(x) - cot(x)
---------------
     tan(x)

$$\frac{\tan{\left(x \right)} - \cot{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}$$

d /tan(x) - cot(x)\
--|---------------|
dx\     tan(x)    /

$$\frac{d}{d x} \frac{\tan{\left(x \right)} - \cot{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применим правило производной частного:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} - \cot{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}$ .

Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. дифференцируем $\tan{\left(x \right)} - \cot{\left(x \right)}$ почленно:
  1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
    1. Есть несколько способов вычислить эту производную.
      Method #1
      
      Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      
      $\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$
      
      Заменим $u = \tan{\left(x \right)}$ .
      
      В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$
      
      Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$ :
      
      Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      
      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
      
      Применим правило производной частного:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      
      Теперь применим правило производной деления:
      
      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$
      Method #2
      
      Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      
      $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$
      
      Применим правило производной частного:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      
      Теперь применим правило производной деления:
      
      $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$
    Таким образом, в результате: $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$
  2. $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
  В результате: $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$
Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
Теперь применим правило производной деления:

$\frac{\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}\right) \tan{\left(x \right)} - \frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \left(\tan{\left(x \right)} - \cot{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}}}{\tan^{2}{\left(x \right)}}$
Теперь упростим:

$\frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}$

Ответ:

$\frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

       2         2      /        2   \                  
2 + cot (x) + tan (x)   \-1 - tan (x)/*(tan(x) - cot(x))
--------------------- + --------------------------------
        tan(x)                         2                
                                    tan (x)

$$\frac{\left(\tan{\left(x \right)} - \cot{\left(x \right)}\right) \left(- \tan^{2}{\left(x \right)} - 1\right)}{\tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + \cot^{2}{\left(x \right)} + 2}{\tan{\left(x \right)}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

  /                                                            /            2   \                      /       2   \ /       2         2   \\
  |/       2   \          /       2   \          /       2   \ |     1 + tan (x)|                      \1 + tan (x)/*\2 + cot (x) + tan (x)/|
2*|\1 + tan (x)/*tan(x) - \1 + cot (x)/*cot(x) + \1 + tan (x)/*|-1 + -----------|*(-cot(x) + tan(x)) - -------------------------------------|
  |                                                            |          2     |                                      tan(x)               |
  \                                                            \       tan (x)  /                                                           /
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                    tan(x)

$$\frac{2 \left(\left(-1 + \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan^{2}{\left(x \right)}}\right) \left(\tan{\left(x \right)} - \cot{\left(x \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} - \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)} - \frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + \cot^{2}{\left(x \right)} + 2\right)}{\tan{\left(x \right)}}\right)}{\tan{\left(x \right)}}$$

Упростить

Третья производная [src]

  /                                                                                                                                                                                                                                                 /            2   \                        \
  |                                                                                                                                                                                                                                   /       2   \ |     1 + tan (x)| /       2         2   \|
  |             2                2                                                                          /                               2                  3\                                                                   3*\1 + tan (x)/*|-1 + -----------|*\2 + cot (x) + tan (x)/|
  |/       2   \    /       2   \         2    /       2   \        2    /       2   \                      |                  /       2   \      /       2   \ |     /       2   \ //       2   \          /       2   \       \                   |          2     |                        |
  |\1 + cot (x)/  + \1 + tan (x)/  + 2*cot (x)*\1 + cot (x)/ + 2*tan (x)*\1 + tan (x)/                      |         2      5*\1 + tan (x)/    3*\1 + tan (x)/ |   3*\1 + tan (x)/*\\1 + tan (x)/*tan(x) - \1 + cot (x)/*cot(x)/                   \       tan (x)  /                        |
2*|----------------------------------------------------------------------------------- - (-cot(x) + tan(x))*|2 + 2*tan (x) - ---------------- + ----------------| - ------------------------------------------------------------- + ----------------------------------------------------------|
  |                                       tan(x)                                                            |                       2                  4        |                                 2                                                           tan(x)                          |
  \                                                                                                         \                    tan (x)            tan (x)     /                              tan (x)                                                                                        /

$$2 \cdot \left(\frac{3 \left(-1 + \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan^{2}{\left(x \right)}}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + \cot^{2}{\left(x \right)} + 2\right)}{\tan{\left(x \right)}} - \left(\tan{\left(x \right)} - \cot{\left(x \right)}\right) \left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} - \frac{5 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\tan^{2}{\left(x \right)}} + 2 + \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{3}}{\tan^{4}{\left(x \right)}}\right) - \frac{3 \left(\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} - \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(x \right)} + 2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot^{2}{\left(x \right)} + \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} + \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\tan{\left(x \right)}}\right)$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная (tan(x)-cot(x))/tan(x)

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Method #1

Method #2