Господин Экзамен

Lang:

Производная функции/ x/sqrt(x+1)

Производная x/sqrt(x+1)

Решение

Вы ввели [src]

    x    
---------
  _______
\/ x + 1

$$\frac{x}{\sqrt{x + 1}}$$

d /    x    \
--|---------|
dx|  _______|
  \\/ x + 1 /

$$\frac{d}{d x} \frac{x}{\sqrt{x + 1}}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применим правило производной частного:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = x$ и $g{\left(x \right)} = \sqrt{x + 1}$ .

Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Заменим $u = x + 1$ .
2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)$ :
  1. дифференцируем $x + 1$ почленно:
    1. Производная постоянной $1$ равна нулю.
    2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
    В результате: $1$
  В результате последовательности правил:
  
  $\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$
Теперь применим правило производной деления:

$\frac{- \frac{x}{2 \sqrt{x + 1}} + \sqrt{x + 1}}{x + 1}$
Теперь упростим:

$\frac{x + 2}{2 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$

Ответ:

$\frac{x + 2}{2 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

    1            x      
--------- - ------------
  _______            3/2
\/ x + 1    2*(x + 1)

$$\frac{1}{\sqrt{x + 1}} - \frac{x}{2 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

        3*x   
-1 + ---------
     4*(1 + x)
--------------
         3/2  
  (1 + x)

$$\frac{\frac{3 x}{4 \left(x + 1\right)} - 1}{\left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$$

Упростить

Третья производная [src]

  /     5*x \
3*|6 - -----|
  \    1 + x/
-------------
          5/2
 8*(1 + x)

$$\frac{3 \left(- \frac{5 x}{x + 1} + 6\right)}{8 \left(x + 1\right)^{\frac{5}{2}}}$$

Упростить

График

Производная x/sqrt(x+1)