Производная tan(x^-2)^(3)

Решение

Вы ввели [src]

   3/1 \
tan |--|
    | 2|
    \x /

$$\tan^{3}{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}$$

d /   3/1 \\
--|tan |--||
dx|    | 2||
  \    \x //

$$\frac{d}{d x} \tan^{3}{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Заменим $u = \tan{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}$ .
В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$
Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}$ :
1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
  
  $\tan{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{\cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}$
2. Применим правило производной частного:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}$ .
  
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Заменим $u = \frac{1}{x^{2}}$ .
  2. Производная синуса есть косинус:
    
    $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$ :
    1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x^{2}}$ получим $- \frac{2}{x^{3}}$
    В результате последовательности правил:
    
    $- \frac{2 \cos{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{3}}$
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Заменим $u = \frac{1}{x^{2}}$ .
  2. Производная косинус есть минус синус:
    
    $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$ :
    1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x^{2}}$ получим $- \frac{2}{x^{3}}$
    В результате последовательности правил:
    
    $\frac{2 \sin{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{3}}$
  Теперь применим правило производной деления:
  
  $\frac{- \frac{2 \sin^{2}{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{3}} - \frac{2 \cos^{2}{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{3}}}{\cos^{2}{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}$
В результате последовательности правил:

$\frac{3 \left(- \frac{2 \sin^{2}{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{3}} - \frac{2 \cos^{2}{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{3}}\right) \tan^{2}{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{\cos^{2}{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}$
Теперь упростим:

$- \frac{6 \tan^{2}{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{3} \cos^{2}{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}$

Ответ:

$- \frac{6 \tan^{2}{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{3} \cos^{2}{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

      2/1 \ /       2/1 \\
-6*tan |--|*|1 + tan |--||
       | 2| |        | 2||
       \x / \        \x //
--------------------------
             3            
            x

$$- \frac{6 \left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{3}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

                 /                 2/1 \     /       2/1 \\\        
                 |            4*tan |--|   4*|1 + tan |--|||        
                 |                  | 2|     |        | 2|||        
  /       2/1 \\ |     /1 \         \x /     \        \x //|    /1 \
6*|1 + tan |--||*|3*tan|--| + ---------- + ----------------|*tan|--|
  |        | 2|| |     | 2|        2               2       |    | 2|
  \        \x // \     \x /       x               x        /    \x /
--------------------------------------------------------------------
                                  4                                 
                                 x

$$\frac{6 \left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} + 1\right) \left(3 \tan{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} + \frac{4 \tan^{2}{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{2}} + \frac{4 \left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} + 1\right)}{x^{2}}\right) \tan{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{4}}$$

Упростить

Третья производная [src]

                   /                             2                                                                                  \
                   |               /       2/1 \\         4/1 \        3/1 \     /       2/1 \\    /1 \         2/1 \ /       2/1 \\|
                   |             2*|1 + tan |--||    4*tan |--|   9*tan |--|   9*|1 + tan |--||*tan|--|   14*tan |--|*|1 + tan |--|||
                   |               |        | 2||          | 2|         | 2|     |        | 2||    | 2|          | 2| |        | 2|||
    /       2/1 \\ |     2/1 \     \        \x //          \x /         \x /     \        \x //    \x /          \x / \        \x //|
-24*|1 + tan |--||*|3*tan |--| + ----------------- + ---------- + ---------- + ------------------------ + --------------------------|
    |        | 2|| |      | 2|            4               4            2                   2                           4            |
    \        \x // \      \x /           x               x            x                   x                           x             /
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                   5                                                                 
                                                                  x

$$- \frac{24 \left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} + \frac{9 \tan^{3}{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{2}} + \frac{9 \left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} + 1\right) \tan{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{2}} + \frac{4 \tan^{4}{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{4}} + \frac{14 \left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)}}{x^{4}} + \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{x^{2}} \right)} + 1\right)^{2}}{x^{4}}\right)}{x^{5}}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная tan(x^-2)^(3)

График:

Кусочно-заданная:

Решение