Производная tan(x*(sin(x)))

Решение

Вы ввели [src]

tan(x*sin(x))

$$\tan{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)}$$

d                
--(tan(x*sin(x)))
dx

$$\frac{d}{d x} \tan{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

$\tan{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)} = \frac{\sin{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)}}{\cos{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)}}$
Применим правило производной частного:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)}$ .

Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Заменим $u = x \sin{\left(x \right)}$ .
2. Производная синуса есть косинус:
  
  $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} x \sin{\left(x \right)}$ :
  1. Применяем правило производной умножения:
    
    $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
    
    $f{\left(x \right)} = x$ ; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
    $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ ; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
    В результате: $x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$
  В результате последовательности правил:
  
  $\left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)}$
Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Заменим $u = x \sin{\left(x \right)}$ .
2. Производная косинус есть минус синус:
  
  $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} x \sin{\left(x \right)}$ :
  1. Применяем правило производной умножения:
    
    $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
    
    $f{\left(x \right)} = x$ ; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
    $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ ; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
    В результате: $x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$
  В результате последовательности правил:
  
  $- \left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)}$
Теперь применим правило производной деления:

$\frac{\left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)} + \left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)}}$
Теперь упростим:

$\frac{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)}}$

Ответ:

$\frac{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

/       2          \                    
\1 + tan (x*sin(x))/*(x*cos(x) + sin(x))

$$\left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)} + 1\right)$$

Упростить

Вторая производная [src]

/       2          \ /                                           2              \
\1 + tan (x*sin(x))/*\2*cos(x) - x*sin(x) + 2*(x*cos(x) + sin(x)) *tan(x*sin(x))/

$$\left(\tan^{2}{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \left(2 \left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)^{2} \tan{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)} - x \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}\right)$$

Упростить

Третья производная [src]

/       2          \ /                                            3 /       2          \                        3    2                                                                       \
\1 + tan (x*sin(x))/*\-3*sin(x) - x*cos(x) + 2*(x*cos(x) + sin(x)) *\1 + tan (x*sin(x))/ + 4*(x*cos(x) + sin(x)) *tan (x*sin(x)) - 6*(-2*cos(x) + x*sin(x))*(x*cos(x) + sin(x))*tan(x*sin(x))/

$$\left(\tan^{2}{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \left(4 \left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)^{3} \tan^{2}{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)} + 2 \left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)^{3} \left(\tan^{2}{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)} + 1\right) - 6 \left(x \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) \left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \tan{\left(x \sin{\left(x \right)} \right)} - x \cos{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)}\right)$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная tan(x*(sin(x)))

График:

Кусочно-заданная:

Решение