Производная tan(2*x)/x

Решение

Вы ввели [src]

tan(2*x)
--------
   x

$$\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x}$$

d /tan(2*x)\
--|--------|
dx\   x    /

$$\frac{d}{d x} \frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применим правило производной частного:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \tan{\left(2 x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = x$ .

Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
  
  $\tan{\left(2 x \right)} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}$
2. Применим правило производной частного:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$ .
  
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Заменим $u = 2 x$ .
  2. Производная синуса есть косинус:
    
    $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 2 x$ :
    1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      Таким образом, в результате: $2$
    В результате последовательности правил:
    
    $2 \cos{\left(2 x \right)}$
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Заменим $u = 2 x$ .
  2. Производная косинус есть минус синус:
    
    $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 2 x$ :
    1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      Таким образом, в результате: $2$
    В результате последовательности правил:
    
    $- 2 \sin{\left(2 x \right)}$
  Теперь применим правило производной деления:
  
  $\frac{2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}$
Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
Теперь применим правило производной деления:

$\frac{\frac{x \left(2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}} - \tan{\left(2 x \right)}}{x^{2}}$
Теперь упростим:

$\frac{4 x - \sin{\left(4 x \right)}}{x^{2} \left(\cos{\left(4 x \right)} + 1\right)}$

Ответ:

$\frac{4 x - \sin{\left(4 x \right)}}{x^{2} \left(\cos{\left(4 x \right)} + 1\right)}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

         2                
2 + 2*tan (2*x)   tan(2*x)
--------------- - --------
       x              2   
                     x

$$\frac{2 \tan^{2}{\left(2 x \right)} + 2}{x} - \frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x^{2}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

  /             /       2     \                             \
  |tan(2*x)   2*\1 + tan (2*x)/     /       2     \         |
2*|-------- - ----------------- + 4*\1 + tan (2*x)/*tan(2*x)|
  |    2              x                                     |
  \   x                                                     /
-------------------------------------------------------------
                              x

$$\frac{2 \cdot \left(4 \left(\tan^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) \tan{\left(2 x \right)} - \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right)}{x} + \frac{\tan{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right)}{x}$$

Упростить

Третья производная [src]

  /                 /       2     \                                            /       2     \         \
  |  3*tan(2*x)   6*\1 + tan (2*x)/     /       2     \ /         2     \   12*\1 + tan (2*x)/*tan(2*x)|
2*|- ---------- + ----------------- + 8*\1 + tan (2*x)/*\1 + 3*tan (2*x)/ - ---------------------------|
  |       3                2                                                             x             |
  \      x                x                                                                            /
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                   x

$$\frac{2 \cdot \left(8 \left(\tan^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) - \frac{12 \left(\tan^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) \tan{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{6 \left(\tan^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right)}{x^{2}} - \frac{3 \tan{\left(2 x \right)}}{x^{3}}\right)}{x}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная tan(2*x)/x

График:

Кусочно-заданная:

Решение