Производная sin(x)^4*cos(x)^8

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \sin^{4}{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left(x \right)}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{4}$ получим $4 u^{3}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      В результате последовательности правил:

      $4 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   $g{\left(x \right)} = \cos^{8}{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \cos{\left(x \right)}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{8}$ получим $8 u^{7}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      В результате последовательности правил:

      $- 8 \sin{\left(x \right)} \cos^{7}{\left(x \right)}$

   В результате: $- 8 \sin^{5}{\left(x \right)} \cos^{7}{\left(x \right)} + 4 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{9}{\left(x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $\left(4 - 12 \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{7}{\left(x \right)}$

Ответ:

$\left(4 - 12 \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{7}{\left(x \right)}$