Производная (sin(x))*(tan(x))

Решение

Вы ввели [src]

sin(x)*tan(x)

$$\sin{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}$$

d                
--(sin(x)*tan(x))
dx

$$\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применяем правило производной умножения:

$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ ; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Производная синуса есть косинус:
  
  $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
$g{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}$ ; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
  
  $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
2. Применим правило производной частного:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
  
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Производная синуса есть косинус:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Производная косинус есть минус синус:
    
    $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
  Теперь применим правило производной деления:
  
  $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
В результате: $\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \cos{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}$
Теперь упростим:

$\left(1 + \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right) \sin{\left(x \right)}$

Ответ:

$\left(1 + \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right) \sin{\left(x \right)}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

/       2   \                       
\1 + tan (x)/*sin(x) + cos(x)*tan(x)

$$\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}$$

Упростить

Вторая производная [src]

                   /       2   \            /       2   \              
-sin(x)*tan(x) + 2*\1 + tan (x)/*cos(x) + 2*\1 + tan (x)/*sin(x)*tan(x)

$$2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)} + 2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}$$

Упростить

Третья производная [src]

                   /       2   \            /       2   \ /         2   \            /       2   \              
-cos(x)*tan(x) - 3*\1 + tan (x)/*sin(x) + 2*\1 + tan (x)/*\1 + 3*tan (x)/*sin(x) + 6*\1 + tan (x)/*cos(x)*tan(x)

$$2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} + 6 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)} - 3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная (sin(x))*(tan(x))

График:

Кусочно-заданная:

Решение