Производная sin(tan(x))

Решение

Вы ввели [src]

sin(tan(x))

$$\sin{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}$$

d              
--(sin(tan(x)))
dx

$$\frac{d}{d x} \sin{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Заменим $u = \tan{\left(x \right)}$ .
Производная синуса есть косинус:

$\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$ :
1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
  
  $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
2. Применим правило производной частного:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
  
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Производная синуса есть косинус:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Производная косинус есть минус синус:
    
    $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
  Теперь применим правило производной деления:
  
  $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
В результате последовательности правил:

$\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
Теперь упростим:

$\frac{\cos{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Ответ:

$\frac{\cos{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

/       2   \            
\1 + tan (x)/*cos(tan(x))

$$\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}$$

Упростить

Вторая производная [src]

/       2   \ /  /       2   \                                   \
\1 + tan (x)/*\- \1 + tan (x)/*sin(tan(x)) + 2*cos(tan(x))*tan(x)/

$$\left(- \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} + 2 \cos{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)$$

Упростить

Третья производная [src]

              /               2                                                                                                       \
/       2   \ |  /       2   \                  /       2   \                    2                    /       2   \                   |
\1 + tan (x)/*\- \1 + tan (x)/ *cos(tan(x)) + 2*\1 + tan (x)/*cos(tan(x)) + 4*tan (x)*cos(tan(x)) - 6*\1 + tan (x)/*sin(tan(x))*tan(x)/

$$\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(- \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \cos{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} - 6 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} \tan^{2}{\left(x \right)} + 2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}\right)$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная sin(tan(x))

График:

Кусочно-заданная:

Решение