Производная sin(cos(x))-cos(sin(x))

1. дифференцируем $\sin{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - \cos{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$ почленно:

   1. Заменим $u = \cos{\left(x \right)}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      В результате последовательности правил:

      $- \sin{\left(x \right)} \cos{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$

   4. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = \sin{\left(x \right)}$.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         В результате последовательности правил:

         $- \sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}$

      Таким образом, в результате: $\sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}$

   В результате: $- \sin{\left(x \right)} \cos{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}$

Ответ:

$- \sin{\left(x \right)} \cos{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}$