Производная 7^x*cos(2*x)

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = 7^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. $\frac{d}{d x} 7^{x} = 7^{x} \log{\left(7 \right)}$

   $g{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = 2 x$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 2 x$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $2$

      В результате последовательности правил:

      $- 2 \sin{\left(2 x \right)}$

   В результате: $- 2 \cdot 7^{x} \sin{\left(2 x \right)} + 7^{x} \log{\left(7 \right)} \cos{\left(2 x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $7^{x} \left(- 2 \sin{\left(2 x \right)} + \log{\left(7 \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right)$

Ответ:

$7^{x} \left(- 2 \sin{\left(2 x \right)} + \log{\left(7 \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right)$