Производная (-log(x))/cos(x)^(2)

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = - \log{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(x \right)}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Производная $\log{\left(x \right)}$ является $\frac{1}{x}$.

      Таким образом, в результате: $- \frac{1}{x}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \cos{\left(x \right)}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      В результате последовательности правил:

      $- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{- 2 \log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{x}}{\cos^{4}{\left(x \right)}}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{2 x \log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x \cos^{3}{\left(x \right)}}$

Ответ:

$- \frac{2 x \log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x \cos^{3}{\left(x \right)}}$