Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Производная:
Производная e^x*cos(x)
Производная 1/x+4*x
Производная -1/(x^2)
Производная 2*e^(2*x)-10*e^x+8
Идентичные выражения
log(((один +cos(шесть *x))/(один -cos(x)))^(один / два))
логарифм от (((1 плюс косинус от (6 умножить на x)) делить на (1 минус косинус от (x))) в степени (1 делить на 2))
логарифм от (((один плюс косинус от (шесть умножить на x)) делить на (один минус косинус от (x))) в степени (один делить на два))
log(((1+cos(6*x))/(1-cos(x)))(1/2))
log1+cos6*x/1-cosx1/2
log(((1+cos(6x))/(1-cos(x)))^(1/2))
log(((1+cos(6x))/(1-cos(x)))(1/2))
log1+cos6x/1-cosx1/2
log1+cos6x/1-cosx^1/2
log(((1+cos(6*x)) разделить на (1-cos(x)))^(1 разделить на 2))
Похожие выражения
log(((1+cos(6*x))/(1+cos(x)))^(1/2))
log(((1-cos(6*x))/(1-cos(x)))^(1/2))
log(((1+cos(6*x))/(1-cosx))^(1/2))

Производная функции/ log(((1+cos(6*x))/(1-cos(x)))^(1/2))

Производная log(((1+cos(6*x))/(1-cos(x)))^(1/2))

Решение

Вы ввели [src]

   /    ______________\
   |   / 1 + cos(6*x) |
log|  /  ------------ |
   \\/    1 - cos(x)  /

$$\log{\left(\sqrt{\frac{\cos{\left(6 x \right)} + 1}{- \cos{\left(x \right)} + 1}} \right)}$$

  /   /    ______________\\
d |   |   / 1 + cos(6*x) ||
--|log|  /  ------------ ||
dx\   \\/    1 - cos(x)  //

$$\frac{d}{d x} \log{\left(\sqrt{\frac{\cos{\left(6 x \right)} + 1}{- \cos{\left(x \right)} + 1}} \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Заменим $u = \sqrt{\frac{\cos{\left(6 x \right)} + 1}{1 - \cos{\left(x \right)}}}$ .
Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$ .
Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sqrt{\frac{\cos{\left(6 x \right)} + 1}{1 - \cos{\left(x \right)}}}$ :
1. Заменим $u = \frac{\cos{\left(6 x \right)} + 1}{1 - \cos{\left(x \right)}}$ .
2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{\cos{\left(6 x \right)} + 1}{1 - \cos{\left(x \right)}}$ :
  1. Применим правило производной частного:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \cos{\left(6 x \right)} + 1$ и $g{\left(x \right)} = 1 - \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. дифференцируем $\cos{\left(6 x \right)} + 1$ почленно:
      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.
      2. Заменим $u = 6 x$ .
      3. Производная косинус есть минус синус:
        
        $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
      4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 6 x$ :
        
        Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
        
        В силу правила, применим: $x$ получим $1$
        
        Таким образом, в результате: $6$
        
        В результате последовательности правил:
        
        $- 6 \sin{\left(6 x \right)}$
      В результате: $- 6 \sin{\left(6 x \right)}$
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. дифференцируем $1 - \cos{\left(x \right)}$ почленно:
      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.
      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
        
        Производная косинус есть минус синус:
        
        $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
        
        Таким образом, в результате: $\sin{\left(x \right)}$
      В результате: $\sin{\left(x \right)}$
    Теперь применим правило производной деления:
    
    $\frac{- 6 \cdot \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(6 x \right)} - \left(\cos{\left(6 x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}$
  В результате последовательности правил:
  
  $\frac{- 6 \cdot \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(6 x \right)} - \left(\cos{\left(6 x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\frac{\cos{\left(6 x \right)} + 1}{1 - \cos{\left(x \right)}}} \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}$
В результате последовательности правил:

$\frac{\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(6 x \right)} + 1} \left(- 6 \cdot \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(6 x \right)} - \left(\cos{\left(6 x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}\right)}{2 \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}$
Теперь упростим:

$\frac{- 6 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \sin{\left(6 x \right)} + \left(\cos{\left(6 x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{2 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \left(\cos{\left(6 x \right)} + 1\right)}$

Ответ:

$\frac{- 6 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \sin{\left(6 x \right)} + \left(\cos{\left(6 x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{2 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \left(\cos{\left(6 x \right)} + 1\right)}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

             /  3*sin(6*x)   (1 + cos(6*x))*sin(x)\
(1 - cos(x))*|- ---------- - ---------------------|
             |  1 - cos(x)                    2   |
             \                  2*(1 - cos(x))    /
---------------------------------------------------
                    1 + cos(6*x)

$$\frac{\left(- \cos{\left(x \right)} + 1\right) \left(- \frac{3 \sin{\left(6 x \right)}}{- \cos{\left(x \right)} + 1} - \frac{\left(\cos{\left(6 x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{2 \left(- \cos{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}\right)}{\cos{\left(6 x \right)} + 1}$$

Упростить

Вторая производная [src]

                                                                /             (1 + cos(6*x))*sin(x)\                                /             (1 + cos(6*x))*sin(x)\         
                  2                                             |6*sin(6*x) - ---------------------|*sin(x)                       3*|6*sin(6*x) - ---------------------|*sin(6*x)
               sin (x)*(1 + cos(6*x))   (1 + cos(6*x))*cos(x)   \                  -1 + cos(x)     /          6*sin(x)*sin(6*x)     \                  -1 + cos(x)     /         
-18*cos(6*x) + ---------------------- + --------------------- + ------------------------------------------- - ----------------- - -----------------------------------------------
                                2          2*(-1 + cos(x))                    2*(-1 + cos(x))                    -1 + cos(x)                        1 + cos(6*x)                 
                   (-1 + cos(x))                                                                                                                                                 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                   1 + cos(6*x)

$$\frac{- \frac{3 \cdot \left(6 \sin{\left(6 x \right)} - \frac{\left(\cos{\left(6 x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) \sin{\left(6 x \right)}}{\cos{\left(6 x \right)} + 1} + \frac{\left(6 \sin{\left(6 x \right)} - \frac{\left(\cos{\left(6 x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) \sin{\left(x \right)}}{2 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)} - 18 \cos{\left(6 x \right)} + \frac{\left(\cos{\left(6 x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{2 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)} - \frac{6 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(6 x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} + \frac{\left(\cos{\left(6 x \right)} + 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}}{\cos{\left(6 x \right)} + 1}$$

Упростить

Третья производная [src]

               /                                           2                                       \                                                                                                                                                                                                                                /                                           2                                       \                                                                                                                                                      
               |              (1 + cos(6*x))*cos(x)   2*sin (x)*(1 + cos(6*x))   12*sin(x)*sin(6*x)|                                                                                                                                                                                                                                |              (1 + cos(6*x))*cos(x)   2*sin (x)*(1 + cos(6*x))   12*sin(x)*sin(6*x)|                                                                                                                                                      
               |36*cos(6*x) - --------------------- - ------------------------ + ------------------|*sin(x)   /             (1 + cos(6*x))*sin(x)\                                     2      /             (1 + cos(6*x))*sin(x)\      /             (1 + cos(6*x))*sin(x)\                                                      6*|36*cos(6*x) - --------------------- - ------------------------ + ------------------|*sin(6*x)                                                                                         /             (1 + cos(6*x))*sin(x)\                
               |                   -1 + cos(x)                          2           -1 + cos(x)    |          |6*sin(6*x) - ---------------------|*cos(x)                        36*sin (6*x)*|6*sin(6*x) - ---------------------|   18*|6*sin(6*x) - ---------------------|*cos(6*x)         2                                     |                   -1 + cos(x)                          2           -1 + cos(x)    |                 3                                                                              6*|6*sin(6*x) - ---------------------|*sin(x)*sin(6*x)
               \                                           (-1 + cos(x))                           /          \                  -1 + cos(x)     /          54*cos(6*x)*sin(x)                \                  -1 + cos(x)     /      \                  -1 + cos(x)     /            18*sin (x)*sin(6*x)   9*cos(x)*sin(6*x)     \                                           (-1 + cos(x))                           /            3*sin (x)*(1 + cos(6*x))   (1 + cos(6*x))*sin(x)   3*(1 + cos(6*x))*cos(x)*sin(x)     \                  -1 + cos(x)     /                
108*sin(6*x) + -------------------------------------------------------------------------------------------- + ------------------------------------------- - ------------------ - ------------------------------------------------- - ------------------------------------------------ - ------------------- - ----------------- - ------------------------------------------------------------------------------------------------ + ------------------------ - --------------------- + ------------------------------ + ------------------------------------------------------
                                                       -1 + cos(x)                                                          2*(-1 + cos(x))                    -1 + cos(x)                                      2                                      1 + cos(6*x)                                     2        -1 + cos(x)                                                1 + cos(6*x)                                                               3           2*(-1 + cos(x))                           2                        (1 + cos(6*x))*(-1 + cos(x))             
                                                                                                                                                                                                  (1 + cos(6*x))                                                                           (-1 + cos(x))                                                                                                                                  (-1 + cos(x))                                         (-1 + cos(x))                                                                  
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                                                                                                                                                  1 + cos(6*x)

$$\frac{- \frac{18 \cdot \left(6 \sin{\left(6 x \right)} - \frac{\left(\cos{\left(6 x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) \cos{\left(6 x \right)}}{\cos{\left(6 x \right)} + 1} - \frac{36 \cdot \left(6 \sin{\left(6 x \right)} - \frac{\left(\cos{\left(6 x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) \sin^{2}{\left(6 x \right)}}{\left(\cos{\left(6 x \right)} + 1\right)^{2}} + \frac{\left(6 \sin{\left(6 x \right)} - \frac{\left(\cos{\left(6 x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) \cos{\left(x \right)}}{2 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)} + \frac{6 \cdot \left(6 \sin{\left(6 x \right)} - \frac{\left(\cos{\left(6 x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) \sin{\left(x \right)} \sin{\left(6 x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \left(\cos{\left(6 x \right)} + 1\right)} + 108 \sin{\left(6 x \right)} - \frac{6 \cdot \left(36 \cos{\left(6 x \right)} - \frac{\left(\cos{\left(6 x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} + \frac{12 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(6 x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} - \frac{2 \left(\cos{\left(6 x \right)} + 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}\right) \sin{\left(6 x \right)}}{\cos{\left(6 x \right)} + 1} - \frac{\left(\cos{\left(6 x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{2 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)} + \frac{\left(36 \cos{\left(6 x \right)} - \frac{\left(\cos{\left(6 x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} + \frac{12 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(6 x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} - \frac{2 \left(\cos{\left(6 x \right)} + 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} - \frac{54 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(6 x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} - \frac{9 \sin{\left(6 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} + \frac{3 \left(\cos{\left(6 x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)^{2}} - \frac{18 \sin^{2}{\left(x \right)} \sin{\left(6 x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)^{2}} + \frac{3 \left(\cos{\left(6 x \right)} + 1\right) \sin^{3}{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)^{3}}}{\cos{\left(6 x \right)} + 1}$$

Упростить

График

Производная log(((1+cos(6*x))/(1-cos(x)))^(1/2))

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная log(((1+cos(6*x))/(1-cos(x)))^(1/2))

График:

Кусочно-заданная:

Решение