Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Производная:
Производная x^3*log(x)
Производная tan(3*x)^(4)
Производная (x^3)/(2*x+4)
Производная sqrt(1+sin(6*x)^(2))
Идентичные выражения
log((один -cos(x))/sin(x))*log((один -cos(x))/sin(x))
логарифм от ((1 минус косинус от (x)) делить на синус от (x)) умножить на логарифм от ((1 минус косинус от (x)) делить на синус от (x))
логарифм от ((один минус косинус от (x)) делить на синус от (x)) умножить на логарифм от ((один минус косинус от (x)) делить на синус от (x))
log((1-cos(x))/sin(x))log((1-cos(x))/sin(x))
log1-cosx/sinxlog1-cosx/sinx
log((1-cos(x)) разделить на sin(x))*log((1-cos(x)) разделить на sin(x))
Похожие выражения
log((1-cos(x))/sin(x))*log((1+cos(x))/sin(x))
log((1+cos(x))/sin(x))*log((1-cos(x))/sin(x))
log((1-cosx)/sinx)*log((1-cosx)/sinx)

Производная функции/ log((1-cos(x))/sin(x))*log((1-cos(x))/sin(x))

Производная log((1-cos(x))/sin(x))*log((1-cos(x))/sin(x))

Решение

Вы ввели [src]

   /1 - cos(x)\    /1 - cos(x)\
log|----------|*log|----------|
   \  sin(x)  /    \  sin(x)  /

$$\log{\left(\frac{- \cos{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}} \right)} \log{\left(\frac{- \cos{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}} \right)}$$

d /   /1 - cos(x)\    /1 - cos(x)\\
--|log|----------|*log|----------||
dx\   \  sin(x)  /    \  sin(x)  //

$$\frac{d}{d x} \log{\left(\frac{- \cos{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}} \right)} \log{\left(\frac{- \cos{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}} \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применяем правило производной умножения:

$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

$f{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} \right)}$ ; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Заменим $u = \frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$ .
2. Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$ .
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$ :
  1. Применим правило производной частного:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = 1 - \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ .
    
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. дифференцируем $1 - \cos{\left(x \right)}$ почленно:
      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.
      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
        
        Производная косинус есть минус синус:
        
        $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
        
        Таким образом, в результате: $\sin{\left(x \right)}$
      В результате: $\sin{\left(x \right)}$
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
    Теперь применим правило производной деления:
    
    $\frac{- \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$
  В результате последовательности правил:
  
  $\frac{- \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}$
$g{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} \right)}$ ; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Заменим $u = \frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$ .
2. Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$ .
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$ :
  1. Применим правило производной частного:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = 1 - \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ .
    
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. дифференцируем $1 - \cos{\left(x \right)}$ почленно:
      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.
      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
        
        Производная косинус есть минус синус:
        
        $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
        
        Таким образом, в результате: $\sin{\left(x \right)}$
      В результате: $\sin{\left(x \right)}$
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
    Теперь применим правило производной деления:
    
    $\frac{- \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$
  В результате последовательности правил:
  
  $\frac{- \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}$
В результате: $\frac{2 \left(- \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \log{\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} \right)}}{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}$
Теперь упростим:

$\frac{2 \log{\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$

Ответ:

$\frac{2 \log{\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

  /    (1 - cos(x))*cos(x)\    /1 - cos(x)\       
2*|1 - -------------------|*log|----------|*sin(x)
  |             2         |    \  sin(x)  /       
  \          sin (x)      /                       
--------------------------------------------------
                    1 - cos(x)

$$\frac{2 \left(- \frac{\left(- \cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \log{\left(\frac{- \cos{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}} \right)} \sin{\left(x \right)}}{- \cos{\left(x \right)} + 1}$$

Упростить

Вторая производная [src]

  /                                                                                                                                                                     2        \
  |  /                                                      2    /    (-1 + cos(x))*cos(x)\                          \                        /    (-1 + cos(x))*cos(x)\     2   |
  |  |                                                   sin (x)*|1 + --------------------|                          |                        |1 + --------------------| *sin (x)|
  |  |                                                           |             2          |        2                 |                        |             2          |         |
  |  |               /    (-1 + cos(x))*cos(x)\                  \          sin (x)       /   2*cos (x)*(-1 + cos(x))|    /-(-1 + cos(x)) \   \          sin (x)       /         |
2*|- |1 - 2*cos(x) + |1 + --------------------|*cos(x) + ---------------------------------- - -----------------------|*log|---------------| + -----------------------------------|
  |  |               |             2          |                     -1 + cos(x)                          2           |    \     sin(x)    /               -1 + cos(x)            |
  \  \               \          sin (x)       /                                                       sin (x)        /                                                           /
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                   -1 + cos(x)

$$\frac{2 \left(\frac{\left(\frac{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right)^{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} - \left(\left(\frac{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \cos{\left(x \right)} + \frac{\left(\frac{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} - \frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(- \frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{\sin{\left(x \right)}} \right)}\right)}{\cos{\left(x \right)} - 1}$$

Упростить

Третья производная [src]

  /                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  /                                                      2    /    (-1 + cos(x))*cos(x)\                          \       \
  |                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  |                                                   sin (x)*|1 + --------------------|                          |       |
  |/                                                                                                                                                         /                     2                 \            /                     2                 \                                                    \                                                     |                                                           |             2          |        2                 |       |
  ||                                                                                                                     3    /    (-1 + cos(x))*cos(x)\     |                2*cos (x)*(-1 + cos(x))|            |                2*cos (x)*(-1 + cos(x))|            /    (-1 + cos(x))*cos(x)\              |                          /    (-1 + cos(x))*cos(x)\ |               /    (-1 + cos(x))*cos(x)\                  \          sin (x)       /   2*cos (x)*(-1 + cos(x))|       |
  ||                                                                                                                2*sin (x)*|1 + --------------------|   2*|-1 + 2*cos(x) + -----------------------|*sin(x)   2*|-1 + 2*cos(x) + -----------------------|*cos(x)   3*|1 + --------------------|*cos(x)*sin(x)|                        3*|1 + --------------------|*|1 - 2*cos(x) + |1 + --------------------|*cos(x) + ---------------------------------- - -----------------------|*sin(x)|
  ||                                    /         2                                    3                 \                    |             2          |     |                           2           |            |                           2           |            |             2          |              |                          |             2          | |               |             2          |                     -1 + cos(x)                          2           |       |
  ||/    (-1 + cos(x))*cos(x)\          |    3*cos (x)   5*(-1 + cos(x))*cos(x)   6*cos (x)*(-1 + cos(x))|                    \          sin (x)       /     \                        sin (x)        /            \                        sin (x)        /            \          sin (x)       /              |    /-(-1 + cos(x)) \     \          sin (x)       / \               \          sin (x)       /                                                       sin (x)        /       |
2*|||1 + --------------------|*sin(x) - |2 + --------- + ---------------------- + -----------------------|*sin(x) - ------------------------------------ + -------------------------------------------------- + -------------------------------------------------- - ------------------------------------------|*log|---------------| + -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
  |||             2          |          |        2                 2                         4           |                                  2                                 -1 + cos(x)                                             sin(x)                                        -1 + cos(x)                |    \     sin(x)    /                                                                        -1 + cos(x)                                                                     |
  \\\          sin (x)       /          \     sin (x)           sin (x)                   sin (x)        /                     (-1 + cos(x))                                                                                                                                                                   /                                                                                                                                                                             /
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                                                                                                         -1 + cos(x)

$$\frac{2 \cdot \left(\frac{3 \left(\frac{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \left(\left(\frac{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \cos{\left(x \right)} + \frac{\left(\frac{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} - \frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} + \left(\left(\frac{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \sin{\left(x \right)} - \frac{3 \left(\frac{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} - \frac{2 \left(\frac{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \sin^{3}{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)^{2}} - \left(\frac{5 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{6 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}} + 2 + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \sin{\left(x \right)} + \frac{2 \cdot \left(\frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 2 \cos{\left(x \right)} - 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{2 \cdot \left(\frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 2 \cos{\left(x \right)} - 1\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) \log{\left(- \frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{\sin{\left(x \right)}} \right)}\right)}{\cos{\left(x \right)} - 1}$$

Упростить

График

Производная log((1-cos(x))/sin(x))*log((1-cos(x))/sin(x))

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная log((1-cos(x))/sin(x))*log((1-cos(x))/sin(x))

График:

Кусочно-заданная:

Решение