Господин Экзамен

Lang:

Производная функции/ log(1/(x+1))

Производная log(1/(x+1))

Решение

Вы ввели [src]

   /    1  \
log|1*-----|
   \  x + 1/

$$\log{\left(1 \cdot \frac{1}{x + 1} \right)}$$

d /   /    1  \\
--|log|1*-----||
dx\   \  x + 1//

$$\frac{d}{d x} \log{\left(1 \cdot \frac{1}{x + 1} \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Заменим $u = 1 \cdot \frac{1}{x + 1}$ .
Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$ .
Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{x + 1}$ :
1. Применим правило производной частного:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x + 1$ .
  
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Производная постоянной $1$ равна нулю.
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. дифференцируем $x + 1$ почленно:
    1. Производная постоянной $1$ равна нулю.
    2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
    В результате: $1$
  Теперь применим правило производной деления:
  
  $- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$
В результате последовательности правил:

$- \frac{x + 1}{\left(x + 1\right)^{2}}$
Теперь упростим:

$- \frac{1}{x + 1}$

Ответ:

$- \frac{1}{x + 1}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

 -1  
-----
x + 1

$$- \frac{1}{x + 1}$$

Упростить

Вторая производная [src]

   1    
--------
       2
(1 + x)

$$\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$$

Упростить

Третья производная [src]

  -2    
--------
       3
(1 + x)

$$- \frac{2}{\left(x + 1\right)^{3}}$$

Упростить

График

Производная log(1/(x+1))