Производная log(1/x)/x

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \log{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = 1 \cdot \frac{1}{x}$.

   2. Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{x}$:

      1. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Теперь применим правило производной деления:

         $- \frac{1}{x^{2}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{1}{x}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{- \log{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} - 1}{x^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{- \log{\left(\frac{1}{x} \right)} - 1}{x^{2}}$

Ответ:

$\frac{- \log{\left(\frac{1}{x} \right)} - 1}{x^{2}}$