Производная sqrt(x)*log(5*x^2+1)

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \sqrt{x}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

   $g{\left(x \right)} = \log{\left(5 x^{2} + 1 \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = 5 x^{2} + 1$.

   2. Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(5 x^{2} + 1\right)$:

      1. дифференцируем $5 x^{2} + 1$ почленно:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

            Таким образом, в результате: $10 x$

         2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         В результате: $10 x$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{10 x}{5 x^{2} + 1}$

   В результате: $\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{5 x^{2} + 1} + \frac{\log{\left(5 x^{2} + 1 \right)}}{2 \sqrt{x}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{20 x^{2} + \left(5 x^{2} + 1\right) \log{\left(5 x^{2} + 1 \right)}}{2 \sqrt{x} \left(5 x^{2} + 1\right)}$

Ответ:

$\frac{20 x^{2} + \left(5 x^{2} + 1\right) \log{\left(5 x^{2} + 1 \right)}}{2 \sqrt{x} \left(5 x^{2} + 1\right)}$