Производная sqrt(tan(2^x))

Решение

Вы ввели [src]

   _________
  /    / x\ 
\/  tan\2 /

$$\sqrt{\tan{\left(2^{x} \right)}}$$

  /   _________\
d |  /    / x\ |
--\\/  tan\2 / /
dx

$$\frac{d}{d x} \sqrt{\tan{\left(2^{x} \right)}}$$

Преобразовать

Подробное решение

Заменим $u = \tan{\left(2^{x} \right)}$ .
В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$
Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(2^{x} \right)}$ :
1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
  
  $\tan{\left(2^{x} \right)} = \frac{\sin{\left(2^{x} \right)}}{\cos{\left(2^{x} \right)}}$
2. Применим правило производной частного:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \sin{\left(2^{x} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(2^{x} \right)}$ .
  
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Заменим $u = 2^{x}$ .
  2. Производная синуса есть косинус:
    
    $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 2^{x}$ :
    1. $\frac{d}{d x} 2^{x} = 2^{x} \log{\left(2 \right)}$
    В результате последовательности правил:
    
    $2^{x} \log{\left(2 \right)} \cos{\left(2^{x} \right)}$
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Заменим $u = 2^{x}$ .
  2. Производная косинус есть минус синус:
    
    $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 2^{x}$ :
    1. $\frac{d}{d x} 2^{x} = 2^{x} \log{\left(2 \right)}$
    В результате последовательности правил:
    
    $- 2^{x} \log{\left(2 \right)} \sin{\left(2^{x} \right)}$
  Теперь применим правило производной деления:
  
  $\frac{2^{x} \log{\left(2 \right)} \sin^{2}{\left(2^{x} \right)} + 2^{x} \log{\left(2 \right)} \cos^{2}{\left(2^{x} \right)}}{\cos^{2}{\left(2^{x} \right)}}$
В результате последовательности правил:

$\frac{2^{x} \log{\left(2 \right)} \sin^{2}{\left(2^{x} \right)} + 2^{x} \log{\left(2 \right)} \cos^{2}{\left(2^{x} \right)}}{2 \cos^{2}{\left(2^{x} \right)} \sqrt{\tan{\left(2^{x} \right)}}}$
Теперь упростим:

$\frac{2^{x - 1} \log{\left(2 \right)}}{\cos^{2}{\left(2^{x} \right)} \sqrt{\tan{\left(2^{x} \right)}}}$

Ответ:

$\frac{2^{x - 1} \log{\left(2 \right)}}{\cos^{2}{\left(2^{x} \right)} \sqrt{\tan{\left(2^{x} \right)}}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

 x /       2/ x\\       
2 *\1 + tan \2 //*log(2)
------------------------
          _________     
         /    / x\      
     2*\/  tan\2 /

$$\frac{2^{x} \left(\tan^{2}{\left(2^{x} \right)} + 1\right) \log{\left(2 \right)}}{2 \sqrt{\tan{\left(2^{x} \right)}}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

                          /                       _________    x /       2/ x\\\
 x    2    /       2/ x\\ |      1           x   /    / x\    2 *\1 + tan \2 //|
2 *log (2)*\1 + tan \2 //*|-------------- + 2 *\/  tan\2 /  - -----------------|
                          |     _________                             3/2/ x\  |
                          |    /    / x\                         4*tan   \2 /  |
                          \2*\/  tan\2 /                                       /

$$2^{x} \left(\tan^{2}{\left(2^{x} \right)} + 1\right) \left(2^{x} \sqrt{\tan{\left(2^{x} \right)}} - \frac{2^{x} \left(\tan^{2}{\left(2^{x} \right)} + 1\right)}{4 \tan^{\frac{3}{2}}{\left(2^{x} \right)}} + \frac{1}{2 \sqrt{\tan{\left(2^{x} \right)}}}\right) \log{\left(2 \right)}^{2}$$

Упростить

Третья производная [src]

                          /                                                                                                                          2\
                          |                                             _________      x /       2/ x\\    2*x /       2/ x\\      2*x /       2/ x\\ |
 x    3    /       2/ x\\ |      1             2*x    3/2/ x\      x   /    / x\    3*2 *\1 + tan \2 //   2   *\1 + tan \2 //   3*2   *\1 + tan \2 // |
2 *log (2)*\1 + tan \2 //*|-------------- + 2*2   *tan   \2 / + 3*2 *\/  tan\2 /  - ------------------- - ------------------- + ----------------------|
                          |     _________                                                    3/2/ x\              _________               5/2/ x\     |
                          |    /    / x\                                                4*tan   \2 /             /    / x\           8*tan   \2 /     |
                          \2*\/  tan\2 /                                                                     2*\/  tan\2 /                            /

$$2^{x} \left(\tan^{2}{\left(2^{x} \right)} + 1\right) \left(2 \cdot 2^{2 x} \tan^{\frac{3}{2}}{\left(2^{x} \right)} - \frac{2^{2 x} \left(\tan^{2}{\left(2^{x} \right)} + 1\right)}{2 \sqrt{\tan{\left(2^{x} \right)}}} + 3 \cdot 2^{x} \sqrt{\tan{\left(2^{x} \right)}} + \frac{3 \cdot 2^{2 x} \left(\tan^{2}{\left(2^{x} \right)} + 1\right)^{2}}{8 \tan^{\frac{5}{2}}{\left(2^{x} \right)}} - \frac{3 \cdot 2^{x} \left(\tan^{2}{\left(2^{x} \right)} + 1\right)}{4 \tan^{\frac{3}{2}}{\left(2^{x} \right)}} + \frac{1}{2 \sqrt{\tan{\left(2^{x} \right)}}}\right) \log{\left(2 \right)}^{3}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Производная sqrt(tan(2^x))

График:

Кусочно-заданная:

Решение