Производная sqrt(cot(3*x))

Решение

Вы ввели [src]

  __________
\/ cot(3*x)

$$\sqrt{\cot{\left(3 x \right)}}$$

d /  __________\
--\\/ cot(3*x) /
dx

$$\frac{d}{d x} \sqrt{\cot{\left(3 x \right)}}$$

Преобразовать

Подробное решение

Заменим $u = \cot{\left(3 x \right)}$ .
В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$
Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left(3 x \right)}$ :
1. Есть несколько способов вычислить эту производную.
  Method #1
  1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
    
    $\cot{\left(3 x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(3 x \right)}}$
  2. Заменим $u = \tan{\left(3 x \right)}$ .
  3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$
  4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(3 x \right)}$ :
    1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      
      $\tan{\left(3 x \right)} = \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\cos{\left(3 x \right)}}$
    2. Применим правило производной частного:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}$ .
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      Заменим $u = 3 x$ .
      
      Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
      
      Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 3 x$ :
      
      Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      
      В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      
      Таким образом, в результате: $3$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $3 \cos{\left(3 x \right)}$
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      Заменим $u = 3 x$ .
      
      Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
      
      Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 3 x$ :
      
      Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      
      В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      
      Таким образом, в результате: $3$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $- 3 \sin{\left(3 x \right)}$
      
      Теперь применим правило производной деления:
      
      $\frac{3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}$
    В результате последовательности правил:
    
    $- \frac{3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)} \tan^{2}{\left(3 x \right)}}$
  Method #2
  1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
    
    $\cot{\left(3 x \right)} = \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}$
  2. Применим правило производной частного:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}$ .
    
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Заменим $u = 3 x$ .
    2. Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 3 x$ :
      
      Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      
      В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      
      Таким образом, в результате: $3$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $- 3 \sin{\left(3 x \right)}$
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Заменим $u = 3 x$ .
    2. Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 3 x$ :
      
      Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      
      В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      
      Таким образом, в результате: $3$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $3 \cos{\left(3 x \right)}$
    Теперь применим правило производной деления:
    
    $\frac{- 3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} - 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}}{\sin^{2}{\left(3 x \right)}}$
В результате последовательности правил:

$- \frac{3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}}{2 \cos^{2}{\left(3 x \right)} \tan^{2}{\left(3 x \right)} \sqrt{\cot{\left(3 x \right)}}}$
Теперь упростим:

$- \frac{3}{2 \sqrt{\frac{1}{\tan{\left(3 x \right)}}} \sin^{2}{\left(3 x \right)}}$

Ответ:

$- \frac{3}{2 \sqrt{\frac{1}{\tan{\left(3 x \right)}}} \sin^{2}{\left(3 x \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

           2     
  3   3*cot (3*x)
- - - -----------
  2        2     
-----------------
     __________  
   \/ cot(3*x)

$$\frac{- \frac{3 \cot^{2}{\left(3 x \right)}}{2} - \frac{3}{2}}{\sqrt{\cot{\left(3 x \right)}}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

  /       2     \ /                        2     \
  |1   cot (3*x)| |    __________   1 + cot (3*x)|
9*|- + ---------|*|4*\/ cot(3*x)  - -------------|
  \4       4    / |                     3/2      |
                  \                  cot   (3*x) /

$$9 \left(4 \sqrt{\cot{\left(3 x \right)}} - \frac{\cot^{2}{\left(3 x \right)} + 1}{\cot^{\frac{3}{2}}{\left(3 x \right)}}\right) \left(\frac{\cot^{2}{\left(3 x \right)}}{4} + \frac{1}{4}\right)$$

Упростить

Третья производная [src]

                   /                                    2                    \
   /       2     \ |                     /       2     \      /       2     \|
   |1   cot (3*x)| |        3/2        3*\1 + cot (3*x)/    4*\1 + cot (3*x)/|
27*|- + ---------|*|- 16*cot   (3*x) - ------------------ + -----------------|
   \8       8    / |                         5/2                 __________  |
                   \                      cot   (3*x)          \/ cot(3*x)   /

$$27 \left(\frac{\cot^{2}{\left(3 x \right)}}{8} + \frac{1}{8}\right) \left(- 16 \cot^{\frac{3}{2}}{\left(3 x \right)} + \frac{4 \left(\cot^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right)}{\sqrt{\cot{\left(3 x \right)}}} - \frac{3 \left(\cot^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right)^{2}}{\cot^{\frac{5}{2}}{\left(3 x \right)}}\right)$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Производная sqrt(cot(3*x))

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Method #1

Method #2