Производная x*e^((-x)^2)

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left(x \right)} = e^{\left(- x\right)^{2}}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \left(- x\right)^{2}$.

   2. Производная $e^{u}$ само оно.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(- x\right)^{2}$:

      1. Заменим $u = - x$.

      2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(- x\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $-1$

         В результате последовательности правил:

         $2 x$

      В результате последовательности правил:

      $2 x e^{\left(- x\right)^{2}}$

   В результате: $2 x^{2} e^{\left(- x\right)^{2}} + e^{\left(- x\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\left(2 x^{2} + 1\right) e^{x^{2}}$

Ответ:

$\left(2 x^{2} + 1\right) e^{x^{2}}$