Производная cos(x)^3+sin(x)^3

1. дифференцируем $\sin^{3}{\left(x \right)} + \cos^{3}{\left(x \right)}$ почленно:

   1. Заменим $u = \cos{\left(x \right)}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      В результате последовательности правил:

      $- 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

   4. Заменим $u = \sin{\left(x \right)}$.

   5. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

   6. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      В результате последовательности правил:

      $3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   В результате: $3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $- 3 \sqrt{2} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$

Ответ:

$- 3 \sqrt{2} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$